La trace d’une matrice est la somme des éléments situés sur la diagonale principale d’une matrice carrée. Ce concept est fondamental en algèbre linéaire et possède des applications importantes en mathématiques et en physique.
Trace d’une matrice
La trace d’une matrice carrée \( A \) de dimension \( n \times n \) est définie comme :
\[ \text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} \]
où \( a_{ii} \) représente les éléments diagonaux de la matrice \( A \). Par exemple, pour une matrice carrée \( A \) donnée par :
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \] sa trace est \( \text{Tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} \).
Exemples sur la Trace d’une matrice
Considérons la matrice carrée suivante :
\[ B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 7 & 8 & 6 \end{pmatrix} \]
La trace de cette matrice est donnée par :
\[ \text{Tr}(B) = 3 + 5 + 6 = 14 \]
Un autre exemple est la matrice identité :
\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Pour la matrice identité \( I \), la trace est égale à la dimension de la matrice : \[ \text{Tr}(I) = 1 + 1 + 1 = 3 \]
Propriétés
- La trace d’une matrice est invariante par transposition : \( \text{Tr}(A) = \text{Tr}(A^T) \).
- \( \text{Tr}(A + B) = \text{Tr}(A) + \text{Tr}(B) \) pour toutes matrices carrées \( A \) et \( B \) de mêmes dimensions.
- \( \text{Tr}(cA) = c \cdot \text{Tr}(A) \), où \( c \) est un scalaire.
- Si \( A \) et \( B \) sont des matrices \( n \times n \), alors \( \text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA) \).
Méthodes sur la Trace d’une matrice
Pour calculer la trace d’une matrice :
- Identifiez les éléments diagonaux de la matrice.
- Effectuez la somme de ces éléments.
Vous pouvez également utiliser des outils comme NumPy ou MATLAB pour calculer la trace de matrices plus grandes.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Calculez la trace de la matrice suivante : \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 9 & 8 \end{pmatrix} \]
- Vérifiez si \( \text{Tr}(A + B) = \text{Tr}(A) + \text{Tr}(B) \) pour : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Démontrez que \( \text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA) \) pour deux matrices \( A \) et \( B \) de taille \( n \times n \).
- Pour une matrice diagonale \( D \), montrez que la trace est la somme de ses valeurs propres.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous aidera à tester votre compréhension de la trace d’une matrice.
