Le théorème des valeurs intermédiaires est un concept fondamental de l’analyse mathématique, indispensable pour comprendre la continuité des fonctions.
Définition du Théorème des Valeurs Intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires affirme que si une fonction \( f \) est continue sur un intervalle fermé \([a, b]\), et si \( y_0 \) est un nombre tel que \( f(a) \leq y_0 \leq f(b) \), alors il existe au moins un \( c \in [a, b] \) tel que \( f(c) = y_0 \).
En termes mathématiques :
\[ \exists c \in [a, b] \quad \text{tel que} \quad f(c) = y_0. \]
Propriétés Clés du Théorème des Valeurs Intermédiaires
- Continuité : \( f \) doit être continue sur \([a, b]\).
- Valeur intermédiaire : \( y_0 \) doit se situer entre \( f(a) \) et \( f(b) \).
- Unicité : Le théorème garantit l’existence mais pas l’unicité du point \( c \).
Exercices sur le Théorème des Valeurs Intermédiaires
| Question | Réponse |
|---|---|
| Vérifiez si la fonction \( f(x) = x^2 – 3x + 2 \) satisfait le théorème pour \( [1, 3] \) et \( y_0 = 1 \). | Utiliser \( f(a) \) et \( f(b) \) pour confirmer l’existence de \( y_0 \). |
| Trouvez une valeur \( c \) pour \( f(x) = \cos(x) \) sur \([0, \pi/2]\) telle que \( f(c) = 0.5 \). | Utiliser une méthode numérique pour approcher \( c \). |
Exemples d’Application
Supposons que \( f(x) = x^3 – x – 2 \) et \( [1, 2] \). En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, nous savons que \( f(x) \) traverse zéro car :
\[ f(1) = -2 \quad \text{et} \quad f(2) = 4. \]
Apprenez-en davantage sur les fondements de ce théorème en consultant cet article détaillé sur Wikipedia.
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