Le théorème des accroissements finis est un outil fondamental en analyse mathématique qui lie les notions de dérivée et de pente moyenne. Dans cet article, nous allons explorer en détail ce concept, accompagné de définitions, théorèmes, exercices, et exemples pratiques.
Définition du Théorème des accroissements finis
**Le théorème des accroissements finis** (TAF) affirme que si une fonction \( f(x) \) est continue sur un intervalle fermé \([a, b]\) et dérivable sur l’intervalle ouvert \((a, b)\), alors il existe au moins un point \( c \in (a, b) \) tel que : \[ f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. \]
Théorème : Applications pratiques
Une application classique du **théorème des accroissements finis** se trouve en mécanique pour décrire la vitesse moyenne. Par exemple, si la position d’un objet en fonction du temps est donnée par une fonction \( s(t) \), alors à un instant \( c \), la vitesse instantanée \( s'(c) \) est égale à la vitesse moyenne sur un intervalle de temps donné.
Pour approfondir ce concept, consultez cet excellent article sur le théorème des accroissements finis.
Exercices interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Donnez un exemple de fonction où le TAF s’applique sur \([1, 3]\). | \( f(x) = x^2 \) |
| À quoi correspond le point \( c \) dans \( f'(c) = \frac{f(3) – f(1)}{2} \) ? | \( c \approx 2 \) |
Exemples concrets
Prenons \( f(x) = x^3 – x \) sur \([1, 2]\). En appliquant le **théorème des accroissements finis**, on calcule : \[ f'(c) = \frac{f(2) – f(1)}{2 – 1}. \] Ici, \( f'(x) = 3x^2 – 1 \), et on trouve \( c \) tel que \( 3c^2 – 1 = 5 \), ce qui donne \( c = \sqrt{2} \).
