Le Théorème de Schwarz est un élément clé en analyse mathématique, essentiel pour comprendre les symétries des dérivées partielles et bien plus encore.
Définition du Théorème de Schwarz
Le Théorème de Schwarz affirme que si une fonction \( f(x, y) \) possède des dérivées partielles continues d’ordre supérieur sur un domaine ouvert, alors les dérivées croisées sont égales. Formellement, si \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \) et \( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \) existent et sont continues, alors :
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \]
Propriétés du Théorème de Schwarz
- Symétrie des Dérivées : Garantit que les dérivées partielles croisées sont égales sous certaines conditions.
- Conditions de Continuité : Nécessite que les dérivées partielles d’ordre supérieur soient continues sur le domaine.
- Applications Multiples : Utilisé en physique, ingénierie et autres domaines nécessitant l’analyse des variations multivariées.
Exercices sur le Théorème de Schwarz
| Question | Réponse |
|---|---|
| Soit \( f(x, y) = x^2 y + y^3 \). Vérifiez si les dérivées croisées de \( f \) sont égales. | Calculant les dérivées : \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2x \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3y^2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x \] Ainsi, \( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x \). |
| Déterminez si le théorème de Schwarz s’applique à \( f(x, y) = e^{xy} \). | Les dérivées partielles d’ordre supérieur de \( f \) sont continues sur \( \mathbb{R}^2 \), donc \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \). |
| Pour \( g(x, y) = \ln(x + y) \), vérifiez l’égalité des dérivées croisées. | Calculant les dérivées : \[ \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{1}{x + y}, \quad \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = -\frac{1}{(x + y)^2} \] \[ \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{1}{x + y}, \quad \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{(x + y)^2} \] Ainsi, les dérivées croisées sont égales. |
| Vérifiez si le théorème de Schwarz s’applique à \( h(x, y) = |xy| \). | Les dérivées partielles d’ordre supérieur ne sont pas continues en \( x = 0 \) ou \( y = 0 \), donc le théorème de Schwarz ne s’applique pas partout. |
Exemples
Considérons la fonction \( f(x, y) = x^2 + y^2 \). Les dérivées partielles sont continues partout sur \( \mathbb{R}^2 \), donc selon le Théorème de Schwarz, les dérivées croisées sont égales :
\[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 0 \]
Un autre exemple est la fonction \( g(x, y) = \sin(xy) \). Les dérivées partielles d’ordre supérieur sont continues, donc :
\[ \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = \cos(xy) + xy(-\sin(xy)) \]
Remarques
Il est important de noter que le Théorème de Schwarz nécessite la continuité des dérivées partielles d’ordre supérieur pour garantir l’égalité des dérivées croisées. Sans cette condition, le théorème peut ne pas s’appliquer, comme illustré dans certains exemples d’exercices.
Pour en savoir plus sur des concepts connexes, consultez des ressources externes telles que le Théorème de Schwarz sur Wikipedia ou explorez des cours détaillés disponibles sur Khan Academy.
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