Le Théorème de Rolle est un pilier essentiel en analyse mathématique. Il permet d’explorer les comportements des fonctions continues et dérivables sur des intervalles définis.
Théorème de Rolle
Le Théorème de Rolle établit qu’une fonction \( f \) continue sur un intervalle fermé \([a, b]\), dérivable sur l’intervalle ouvert \((a, b)\), et satisfaisant \( f(a) = f(b) \), admet au moins un point \( c \in (a, b) \) tel que \( f'(c) = 0 \).
Formellement, si \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) est continue sur \([a, b]\), dérivable sur \((a, b)\), et \( f(a) = f(b) \), alors :
\[ \exists c \in (a, b) \text{ tel que } f'(c) = 0. \]Exemples
Voici un exemple typique illustrant le Théorème de Rolle :
Prenons \( f(x) = x^2 – 2x \) sur l’intervalle \([0, 2]\). Vérifions les hypothèses :
- **Continuité** : \( f(x) \) est un polynôme, donc continu.
- **Dérivabilité** : \( f'(x) = 2x – 2 \), donc dérivable partout.
- \( f(0) = f(2) = 0 \), donc \( f(a) = f(b) \).
Par le Théorème de Rolle, il existe un \( c \in (0, 2) \) tel que \( f'(c) = 0 \). Résolvons :
\[ f'(c) = 2c – 2 = 0 \implies c = 1. \]Propriétés
- Le Théorème de Rolle est un cas particulier du **Théorème de la Valeur Moyenne** en analyse.
- Il ne garantit qu’un seul point \( c \), mais d’autres peuvent exister dans des cas spécifiques.
- Si une condition (continuité, dérivabilité, ou \( f(a) = f(b) \)) est violée, le théorème ne s’applique pas.
Remarques
Le Théorème de Rolle est un outil puissant pour démontrer des résultats dans l’étude des fonctions réelles.
Il peut également être utilisé pour prouver des concepts tels que l’existence de points critiques ou les relations entre les dérivées successives.
Exercices Interactifs
| Question | Options |
|---|---|
| 1. Quelle condition n’est pas nécessaire pour le Théorème de Rolle ? | a) Continuité b) Symétrie c) Dérivabilité d) \( f(a) = f(b) \) |
| 2. Trouvez le \( c \) pour \( f(x) = x^2 – 4x + 4 \) sur \([2, 4]\). | a) 1 b) 3 c) 2 d) Aucun |
| 3. Une fonction non continue satisfait-elle le Théorème de Rolle ? | a) Oui b) Non |
| 4. Quel est l’objectif principal du Théorème de Rolle ? | a) Identifier des points stationnaires b) Vérifier la continuité c) Trouver des dérivées d) Aucune des réponses |
| 5. Si \( f(x) = |x| \) sur \([-1, 1]\), le Théorème de Rolle s’applique-t-il ? | a) Oui b) Non |
