Le théorème de Fubini est une des pierres angulaires du calcul intégral, particulièrement utile pour évaluer les intégrales multiples en les décomposant en intégrales simples.
Théorème de Fubini
Le théorème de Fubini stipule que si une fonction \( f(x, y) \) est continue sur un rectangle \( R = [a, b] \times [c, d] \), alors :
\[ \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dy \, dx = \int_c^d \int_a^b f(x, y) \, dx \, dy. \]
Ce résultat est essentiel pour passer d’une intégrale double à deux intégrales simples. Pour des régions plus complexes, des adaptations sont possibles en prenant en compte les limites spécifiques.
Exemples sur le théorème de Fubini
Considérons une fonction simple \( f(x, y) = x + y \) définie sur \( [0, 1] \times [0, 1] \). Appliquons le théorème de Fubini :
\[ \int_0^1 \int_0^1 (x + y) \, dy \, dx = \int_0^1 \left[ \int_0^1 (x + y) \, dy \right] dx. \]
En calculant l’intégrale intérieure :
\[ \int_0^1 (x + y) \, dy = x \int_0^1 1 \, dy + \int_0^1 y \, dy = x \cdot 1 + \frac{y^2}{2} \bigg|_0^1 = x + \frac{1}{2}. \]
En continuant avec l’intégrale extérieure :
\[ \int_0^1 \left( x + \frac{1}{2} \right) dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_0^1 + \frac{x}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. \]
Propriétés
Le théorème de Fubini repose sur plusieurs hypothèses :
- Continuité : La fonction doit être continue sur la région d’intégration.
- Convergence absolue : Si la fonction est intégrable mais pas nécessairement continue, une intégration par itération reste valide.
- Régions adaptées : Les bornes de la région doivent être définies clairement pour éviter des ambiguïtés dans le passage entre les intégrales.
Remarques
Bien que le théorème de Fubini soit puissant, il peut conduire à des erreurs si les conditions de continuité ou d’intégrabilité ne sont pas vérifiées. Dans ces cas, il convient d’utiliser des techniques plus avancées, telles que la transformation des coordonnées.
Exercices Interactifs
| Question | Réponses |
|---|---|
| 1. Calculez \( \int_0^1 \int_0^2 xy \, dy \, dx \). | a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 |
| 2. Quelle est l’hypothèse principale du théorème de Fubini ? | a) Continuité b) Intégrabilité c) Bornes claires d) Toutes les réponses |
| 3. Réécrivez \( \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dy \, dx \) en permutant les intégrales. |
a) \( \int_c^d \int_a^b f(x, y) \, dx \, dy \) b) \( \int_a^b \int_a^b f(x, y) \, dx \, dy \) c) Aucune des réponses |
| 4. Quelle condition est vérifiée pour \( f(x, y) = e^{-x^2 – y^2} \) sur \( \mathbb{R}^2 \) ? | a) Continuité b) Intégrabilité c) Les deux d) Aucune |
| 5. Évaluez \( \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2) \, dy \, dx \). | a) \( \frac{2}{3} \) b) \( 1 \) c) \( \frac{5}{3} \) d) \( 2 \) |
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