Le Théorème de Fermat est l’une des idées les plus célèbres et fascinantes de l’histoire des mathématiques. Cette théorie, énoncée par Pierre de Fermat, explore la relation entre les nombres entiers et les équations exponentielles.
Théorème de Fermat
Le Théorème de Fermat, aussi connu sous le nom de dernier théorème de Fermat, stipule que pour tout entier \(n > 2\), il n’existe aucun triplet d’entiers positifs \(a\), \(b\), et \(c\) tel que : \[ a^n + b^n = c^n \] Fermat avait noté en marge d’un livre qu’il avait une preuve « merveilleuse » de ce théorème, mais cette preuve n’a jamais été retrouvée.
Exemples sur Théorème de Fermat
Prenons l’exemple classique où \(n = 2\), ce qui correspond au théorème de Pythagore. Ici, il est possible de trouver des solutions telles que : \[ 3^2 + 4^2 = 5^2 \] Cependant, pour \(n = 3\) ou tout autre entier supérieur à 2, aucune solution entière ne satisfait la relation proposée par Fermat. Par exemple : \[ a^3 + b^3 = c^3 \] reste sans solution pour tout \(a, b, c \in \mathbb{N}\).
Propriétés
- Non résoluble pour \(n > 2\) : Cela signifie qu’aucune combinaison entière ne peut satisfaire le théorème au-delà de \(n = 2\).
- Preuve : La démonstration complète a été réalisée par Andrew Wiles en 1994 après plus de 350 ans d’efforts mathématiques.
- Lien avec d’autres théorèmes : Le théorème de Fermat est étroitement lié à des concepts de géométrie algébrique et à la théorie des nombres.
Remarques
La résolution du Théorème de Fermat par Andrew Wiles a marqué une étape importante dans l’histoire des mathématiques. Sa preuve utilise des techniques avancées, notamment la théorie des courbes elliptiques et des formes modulaires. Pour mieux comprendre cette approche, vous pouvez consulter cet article détaillé : Andrew Wiles et le Théorème de Fermat.
Exercices Interactifs
| Question | Réponses possibles |
|---|---|
| 1. Quel est l’énoncé du théorème de Fermat pour \(n > 2\) ? | A. \(a^n + b^n = c^n\), aucune solution en nombres entiers. |
| 2. Quelle est une solution pour \(n = 2\) ? | B. \(3^2 + 4^2 = 5^2\). |
| 3. Qui a prouvé le théorème ? | C. Andrew Wiles. |
| 4. En quelle année a-t-il été prouvé ? | D. 1994. |
| 5. Quel domaine est impliqué dans cette preuve ? | E. Théorie des nombres et géométrie algébrique. |
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