Le Théorème de Convergence Monotone est un résultat fondamental en analyse qui décrit le comportement des intégrales pour des suites de fonctions croissantes convergentes. Il est principalement utilisé dans le cadre des intégrales de Lebesgue et joue un rôle clé dans les théories de la mesure et de la probabilité.
Théorème de Convergence Monotone
Le Théorème de Convergence Monotone peut être formulé comme suit :
Soit \(\{f_n\}\) une suite de fonctions mesurables définies sur un espace mesurable \((X, \mathcal{A}, \mu)\) telle que :
- \(f_n(x) \leq f_{n+1}(x)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) (croissance monotone).
- \(f_n(x) \to f(x)\) presque partout lorsque \(n \to \infty\).
Alors, si toutes les \(f_n\) sont intégrables, on a :
\[ \lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu. \]Exemples sur Théorème de Convergence Monotone
Exemple 1 : Considérons une suite de fonctions \(f_n(x) = \frac{x}{n}\) définies sur l’intervalle \([0, 1]\). La suite est croissante et converge vers \(f(x) = 0\). Par le théorème, nous obtenons :
\[ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x}{n} \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0. \]Exemple 2 : Si \(f_n(x) = 1 – \frac{1}{n}\) sur un ensemble de mesure finie, les intégrales des \(f_n\) convergent vers l’intégrale de la fonction limite \(f(x) = 1\).
Propriétés
- Monotonie : Les fonctions doivent croître de manière monotone presque partout.
- Convergence : La suite des fonctions doit converger presque partout vers une fonction limite mesurable.
- Mesurabilité : Les fonctions considérées doivent être mesurables.
Remarques
Le Théorème de Convergence Monotone est particulièrement utile dans le contexte des intégrales de Lebesgue car il permet de manipuler des limites sous le signe de l’intégrale. Il est important de noter que la croissance monotone est une condition essentielle pour appliquer ce théorème.
En pratique, ce théorème est souvent utilisé en probabilité pour établir des résultats fondamentaux liés aux espérances et en analyse pour manipuler des limites d’intégrales complexes.
Exercices Interactifs
Pratiquez le Théorème de Convergence Monotone avec ces questions :
| Question | Réponse |
|---|---|
| 1. Si \(f_n(x) = x^n\) sur \([0, 1]\), trouvez la limite de \(\int_0^1 f_n(x) \, dx\). | 0 |
| 2. Une suite \(f_n(x)\) est telle que \(f_n(x) \leq f_{n+1}(x)\). Qu’est-ce que cela implique ? | Croissance monotone. |
| 3. Définissez une condition nécessaire pour appliquer le théorème. | Convergence presque partout. |
| 4. Donnez un exemple où le théorème ne s’applique pas. | Fonctions non mesurables. |
| 5. Quelle est l’importance de la mesure finie dans ce théorème ? | Garantir l’intégrabilité. |
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