Le Théorème de Bézout est une règle fondamentale de l’algèbre qui décrit une relation entre les coefficients et le degré des polynômes dans un contexte d’équations diophantiennes et de géométrie algébrique.
Théorème de Bézout
Le Théorème de Bézout affirme que, pour deux polynômes \(P(x)\) et \(Q(x)\) de degrés respectifs \(m\) et \(n\), le nombre maximum de points d’intersection dans \(\mathbb{C}^2\) est donné par le produit \(m \cdot n\), à condition de compter les points avec multiplicité. En termes d’équations linéaires, il est formulé ainsi : \[ ax + by = d \] où \(d = \text{pgcd}(a, b)\). Une solution entière existe si et seulement si \(d\) divise le second membre de l’équation.
Exemples sur Théorème de Bézout
Prenons deux polynômes : \[ P(x) = x^2 + x – 6 \quad \text{et} \quad Q(x) = x^3 – x. \] Le théorème prédit qu’ils auront au plus \(2 \cdot 3 = 6\) points d’intersection. En algèbre linéaire, considérons \(15x + 25y = 5\). Le PGCD de 15 et 25 est 5, donc une solution entière existe pour cette équation, comme \(x = 1, y = -1\).
Propriétés
- Applicabilité universelle : Le théorème s’applique aussi bien aux polynômes qu’aux équations diophantiennes.
- Lien avec le PGCD : Il fournit une méthode de résolution des équations linéaires à coefficients entiers grâce au calcul du PGCD.
- Multiplicité des racines : Les intersections avec multiplicité sont essentielles pour appliquer le théorème en géométrie algébrique.
Remarques
Le Théorème de Bézout joue un rôle central en mathématiques modernes, notamment dans l’étude des courbes algébriques et des systèmes d’équations linéaires. Pour explorer des aspects connexes comme la géométrie différentielle, consultez cet article : Géométrie Différentielle.
Exercices Interactifs
| Question | Réponses possibles |
|---|---|
| 1. Quelle est la condition pour appliquer le théorème de Bézout dans les entiers ? | A. Le PGCD doit diviser le second membre. |
| 2. Pour deux polynômes de degrés 2 et 3, combien de points d’intersection au maximum ? | B. 6. |
| 3. Le théorème s’applique-t-il aux systèmes non linéaires ? | C. Oui, avec des adaptations. |
| 4. Que représente la multiplicité en géométrie algébrique ? | D. Le nombre de fois qu’un point est compté dans une intersection. |
| 5. Comment se calcule le PGCD de deux entiers ? | E. Par l’algorithme d’Euclide. |
Pour approfondir vos connaissances, visitez All Math Levels pour des ressources supplémentaires :
