Dans cet article, nous allons explorer la notion de suite adjacente, un concept fondamental en analyse mathématique. Comprendre ces suites vous permettra de mieux appréhender les comportements des séries et d’analyser leur convergence.
Les Suite adjacente
Une suite adjacente est définie comme une paire de suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) qui satisfont deux conditions principales :
- La suite \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.
- La différence entre les deux se rapproche de zéro, c’est-à-dire : \[ \lim_{n \to \infty} (v_n – u_n) = 0. \]
Ces propriétés impliquent que les deux suites convergent vers une même limite \(L\), ce qui peut être démontré à partir de l’inégalité triangulaire et des propriétés des limites. Ainsi : \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} v_n = L. \]
Les suites adjacentes jouent un rôle clé dans la démonstration de la convergence de certaines séries et dans l’étude de fonctions définies implicitement.
Exemples sur les Suite adjacente
Voyons quelques exemples pour mieux comprendre les suites adjacentes.
Exemple 1 : Considérons les suites suivantes : \[ u_n = 1 – \frac{1}{n}, \quad v_n = 1 + \frac{1}{n}. \] Ici, \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante, et : \[ v_n – u_n = \frac{2}{n}. \] On observe que : \[ \lim_{n \to \infty} (v_n – u_n) = 0, \] ce qui montre que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes et convergent vers la même limite \(L = 1\).
Exemple 2 : Prenons \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \[ u_n = \ln(n) – \frac{1}{n}, \quad v_n = \ln(n) + \frac{1}{n}. \] On peut prouver que ces deux suites sont adjacentes en utilisant des propriétés logarithmiques et en vérifiant les critères d’adjacence.
Illustrations :
Voici une représentation graphique des suites adjacentes pour mieux visualiser leur comportement :
Tester Vos connaissances
Testez vos compétences sur les suites adjacentes à travers ce quiz. L’objectif est de vérifier votre compréhension des concepts abordés.
Nous espérons que cet article vous aura permis de mieux comprendre les suites adjacentes. Pour approfondir vos connaissances en mathématiques, nous vous invitons à visiter notre site partenaire. Cliquez sur le bouton ci-dessous pour accéder à des ressources supplémentaires.
