Une matrice transposée est une matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes d’une matrice donnée. Ce concept joue un rôle crucial en algèbre linéaire et a de nombreuses applications dans divers domaines mathématiques.
Matrice Transposée
La matrice transposée d’une matrice \( A \) est notée \( A^T \). Elle est obtenue en échangeant les éléments \( a_{ij} \) de la position \( (i, j) \) avec les éléments \( a_{ji} \) de la position \( (j, i) \). Mathématiquement :
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \]
Exemples sur la Matrice Transposée
Considérons la matrice suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]
La transposée de cette matrice est donnée par :
\[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]
Un autre exemple est une matrice carrée symétrique où \( A = A^T \). Par exemple :
\[ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B^T = B \]
Propriétés
- La transposée d’une transposée revient à la matrice originale : \( (A^T)^T = A \).
- La transposée de la somme de deux matrices est la somme de leurs transposées : \( (A + B)^T = A^T + B^T \).
- La transposée du produit de deux matrices est le produit de leurs transposées dans l’ordre inverse : \( (AB)^T = B^T A^T \).
- La transposée d’une matrice identité est elle-même.
Méthodes sur la Matrice Transposée
Pour calculer la matrice transposée :
- Identifiez les lignes et les colonnes de la matrice d’origine.
- Échangez les lignes par les colonnes.
Vous pouvez également utiliser des outils comme NumPy ou MATLAB pour effectuer des transpositions de manière automatisée.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Calculez la transposée de la matrice suivante : \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]
- Vérifiez si la matrice suivante est égale à sa transposée : \[ D = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Pour une matrice \( A \) de taille \( m \times n \), démontrez que la transposée de \( A \) a une taille \( n \times m \).
- Montrez que \( (A^T A) \) est toujours une matrice symétrique pour toute matrice \( A \).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de vérifier vos connaissances sur les matrices transposées.
