Une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa transposée. Ce concept fondamental a des applications variées en algèbre linéaire, en analyse numérique et en physique.
Matrice Symétrique
Une matrice A est dite symétrique si elle satisfait la relation \( A = A^T \), où \( A^T \) représente la transposée de la matrice A. Mathématiquement, cela signifie que \( a_{ij} = a_{ji} \) pour tous les indices \( i \) et \( j \). Par exemple :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \]
Exemples sur la Matrice Symétrique
Un exemple simple de matrice symétrique est la matrice identité, où chaque élément de la diagonale est égal à 1 et tous les autres éléments sont 0 :
\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Un autre exemple est donné par la matrice suivante :
\[ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
La transposée de cette matrice est également \( B \), donc \( B \) est symétrique.
Propriétés
- Les valeurs propres d’une matrice symétrique sont toujours réelles.
- Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
- Toute matrice symétrique peut être diagonalisée par une matrice orthogonale.
- Si une matrice est symétrique positive définie, alors toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
Méthodes sur la Matrice Symétrique
Pour vérifier si une matrice est symétrique :
- Calculez la transposée de la matrice.
- Comparez chaque élément de la matrice originale avec les éléments correspondants de la transposée.
Des outils tels que NumPy ou MATLAB peuvent être utilisés pour ces calculs.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si la matrice suivante est symétrique : \[ C = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \\ 1 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]
- Calculez les valeurs propres de la matrice symétrique suivante : \[ D = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Diagonalisez la matrice suivante : \[ E = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]
- Prouvez que toute matrice de covariance est symétrique.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permet de tester votre compréhension des matrices symétriques.
