Une matrice semblable est une matrice qui peut être obtenue à partir d’une autre par une transformation de similarité. Ce concept joue un rôle essentiel en algèbre linéaire, notamment dans l’étude des espaces vectoriels et des transformations linéaires.
Matrice Semblable
Deux matrices \( A \) et \( B \) de taille \( n \times n \) sont dites semblables si :
\[ B = P^{-1} A P \]
où \( P \) est une matrice inversible de taille \( n \times n \). La similarité signifie que \( A \) et \( B \) représentent la même transformation linéaire exprimée dans des bases différentes.
Exemples sur la Matrice Semblable
Prenons la matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \). Si \( P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), alors :
\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
La matrice \( B \), obtenue par transformation de similarité, est donnée par :
\[ B = P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Ainsi, \( A \) et \( B \) sont semblables.
Propriétés
- Les valeurs propres de deux matrices semblables sont identiques.
- Si \( A \) et \( B \) sont semblables, alors elles ont la même trace et le même déterminant.
- La similarité est une relation d’équivalence, c’est-à-dire qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.
- Deux matrices diagonalisables sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes valeurs propres (avec les mêmes multiplicités).
- Le rang des matrices semblables est identique.
Méthodes sur la Matrice Semblable
Pour déterminer si deux matrices \( A \) et \( B \) sont semblables :
- Vérifiez leurs valeurs propres. Si elles diffèrent, les matrices ne sont pas semblables.
- Si les valeurs propres sont identiques, essayez de trouver une matrice \( P \) telle que \( B = P^{-1} A P \).
Des outils comme WolframAlpha ou MATLAB peuvent être utilisés pour tester la similarité de matrices.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si les matrices suivantes sont semblables : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
- Calculez la matrice \( P \) pour \( B = P^{-1} A P \) où : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que deux matrices diagonalisables ayant les mêmes valeurs propres (avec la même multiplicité) sont toujours semblables.
- Prouvez que si \( A \) est semblable à \( B \), alors \( A^n \) est semblable à \( B^n \) pour tout entier \( n \geq 1 \).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous aidera à tester vos connaissances sur les matrices semblables.
