Une matrice inversible est une matrice carrée qui possède une matrice inverse. Ces matrices jouent un rôle central en algèbre linéaire et dans de nombreuses applications scientifiques et mathématiques.
Matrice Inversible
Une matrice \( A \) est dite inversible si et seulement s’il existe une matrice \( B \) telle que :
\[ A \cdot B = B \cdot A = I \]
où \( I \) est la matrice identité. La matrice \( B \) est appelée l’inverse de \( A \), notée \( A^{-1} \). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice soit inversible est que son déterminant soit différent de zéro :
\[ \det(A) \neq 0 \]
Exemples sur la Matrice Inversible
Considérons la matrice \( A \) suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]
Le déterminant de \( A \) est donné par :
\[ \det(A) = (1)(4) – (2)(3) = -2 \]
Puisque \( \det(A) \neq 0 \), \( A \) est inversible. L’inverse de \( A \) est calculée comme :
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \]
Propriétés
- Une matrice est inversible si son déterminant est différent de zéro : \( \det(A) \neq 0 \).
- L’inverse d’une matrice inversible est unique.
- \( (A^{-1})^{-1} = A \) pour toute matrice inversible \( A \).
- \( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \).
- La transposée de l’inverse est égale à l’inverse de la transposée : \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \).
Méthodes sur la Matrice Inversible
Pour calculer l’inverse d’une matrice inversible \( A \) :
- Vérifiez que \( \det(A) \neq 0 \).
- Appliquez la formule : \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) \] où \( \text{Adj}(A) \) est la matrice adjointe de \( A \).
- Vous pouvez également utiliser des méthodes numériques avec des outils comme NumPy ou MATLAB.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si la matrice suivante est inversible : \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]
- Calculez l’inverse de la matrice : \[ D = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que le produit de deux matrices inversibles est lui-même inversible.
- Pour une matrice \( A \) donnée, démontrez que \( A^{-1} \) est unique.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra d’évaluer vos connaissances sur les matrices inversibles.
