Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments hors de la diagonale principale sont nuls. Elle joue un rôle essentiel en algèbre linéaire et simplifie de nombreux calculs mathématiques, notamment dans la résolution d’équations matricielles.
Matrice Diagonale
Une matrice diagonale \( D \) de taille \( n \times n \) est une matrice telle que :
\[ D = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{33} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix} \]
où les \( d_{ii} \) sont les éléments de la diagonale principale, et tous les autres éléments sont nuls.
Exemples sur la Matrice Diagonale
Un exemple simple de matrice diagonale est la matrice identité :
\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Un autre exemple est donné par :
\[ D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \]
Ici, les éléments \( 3, -5, \) et \( 7 \) se trouvent sur la diagonale principale, et tous les autres éléments sont nuls.
Propriétés
- La matrice diagonale est toujours symétrique.
- Le produit de deux matrices diagonales est une autre matrice diagonale.
- La transposée d’une matrice diagonale est elle-même.
- Les valeurs propres d’une matrice diagonale sont ses éléments diagonaux.
- La matrice inverse d’une matrice diagonale (si elle est inversible) est également diagonale, avec des éléments diagonaux \( d_{ii}^{-1} \).
Méthodes sur la Matrice Diagonale
Pour vérifier qu’une matrice est diagonale :
- Identifiez tous les éléments hors de la diagonale principale.
- Vérifiez que ces éléments sont tous nuls.
Les outils comme NumPy ou MATLAB permettent également de manipuler et de vérifier les matrices diagonales.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si la matrice suivante est diagonale : \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]
- Calculez le produit des deux matrices diagonales : \[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que la matrice inverse d’une matrice diagonale est également diagonale, si tous ses éléments diagonaux sont non nuls.
- Pour une matrice diagonale \( D \), démontrez que \( D^n \) est toujours une matrice diagonale pour tout entier \( n \geq 0 \).
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les matrices diagonales.
