Une matrice définie positive est une matrice carrée symétrique qui joue un rôle fondamental en algèbre linéaire, en optimisation et dans les statistiques. Elle est utilisée pour caractériser des espaces convexes et des propriétés géométriques essentielles.
Matrice Définie Positive
Une matrice carrée \( A \) de dimension \( n \times n \) est définie positive si elle satisfait les conditions suivantes :
1. \( A \) est symétrique : \( A = A^T \)
2. Pour tout vecteur \( \mathbf{x} \neq 0 \), \( \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 \)
Ces conditions garantissent que la matrice est associée à une forme quadratique positive. Par exemple, pour \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \), \( \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 \) pour tout vecteur \( \mathbf{x} \neq 0 \).
Exemples sur la Matrice Définie Positive
Considérons la matrice suivante :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \]
1. Vérifions qu’elle est symétrique : \( A = A^T \).
2. Pour \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \), la forme quadratique associée est :
\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 2x_1^2 – 2x_1x_2 + 2x_2^2 > 0 \quad \text{pour tout } \mathbf{x} \neq 0 \]
Ainsi, \( A \) est définie positive.
Propriétés
- Toutes les valeurs propres d’une matrice définie positive sont strictement positives.
- Une matrice définie positive est inversible.
- Pour toute matrice définie positive \( A \), \( \det(A) > 0 \).
- Si \( A \) et \( B \) sont définies positives, alors \( A + B \) est également définie positive.
- Les matrices de covariance et les matrices Hessiennes sont souvent définies positives.
Méthodes sur la Matrice Définie Positive
Pour vérifier si une matrice est définie positive :
- Assurez-vous que la matrice est symétrique.
- Calculez ses valeurs propres. Si elles sont toutes strictement positives, la matrice est définie positive.
- Utilisez la décomposition de Cholesky. Une matrice \( A \) est définie positive si \( A = LL^T \), où \( L \) est une matrice triangulaire inférieure.
Des outils comme NumPy ou MATLAB peuvent faciliter ces vérifications.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Vérifiez si la matrice suivante est définie positive : \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
- Calculez les valeurs propres de : \[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que toute matrice \( A \) définie positive est symétrique.
- Prouvez que si \( A \) est définie positive, alors \( A^{-1} \) est également définie positive.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les matrices définies positives.
