La matrice de Cramer est un outil utilisé dans la méthode de Cramer pour résoudre les systèmes d’équations linéaires carrés. Elle repose sur les propriétés des déterminants et permet de trouver les solutions lorsque la matrice des coefficients est inversible.
Matrice de Cramer
La méthode de Cramer s’applique aux systèmes linéaires carrés :
\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]
où \( A \) est une matrice \( n \times n \), \( \mathbf{x} \) est le vecteur des variables et \( \mathbf{b} \) est le vecteur des constantes. La matrice de Cramer est obtenue en remplaçant une colonne de \( A \) par \( \mathbf{b} \). La solution pour chaque variable \( x_i \) est donnée par :
\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]
où \( A_i \) est la matrice \( A \) avec la \( i \)-ème colonne remplacée par \( \mathbf{b} \), et \( \det(A) \neq 0 \).
Exemples sur la Matrice de Cramer
Considérons le système d’équations suivant :
\[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases} \]
Ici, \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \), \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \). Calculons \( x_1 \) et \( x_2 \) :
\[ A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{(5)(-1) – (1)(1)}{(2)(-1) – (1)(1)} = \frac{-5 – 1}{-2 – 1} = 2, \quad x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{(2)(1) – (5)(1)}{-3} = 1 \]
La solution est donc \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 1 \).
Propriétés
- La méthode de Cramer ne fonctionne que si \( \det(A) \neq 0 \).
- Chaque solution \( x_i \) dépend uniquement de la \( i \)-ème matrice de Cramer \( A_i \).
- La méthode est uniquement applicable aux systèmes carrés (\( n \) équations, \( n \) inconnues).
- Les déterminants jouent un rôle clé dans la méthode de Cramer, car ils déterminent l’existence et l’unicité des solutions.
Méthodes sur la Matrice de Cramer
Pour résoudre un système à l’aide de la méthode de Cramer :
- Calculez le déterminant de la matrice \( A \).
- Pour chaque variable \( x_i \), construisez la matrice \( A_i \) en remplaçant la \( i \)-ème colonne de \( A \) par \( \mathbf{b} \).
- Calculez \( \det(A_i) \) et utilisez la formule : \[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]
Des outils comme Symbolab ou WolframAlpha peuvent vous aider à calculer rapidement les déterminants.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Utilisez la méthode de Cramer pour résoudre le système suivant : \[ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x – y = 5 \end{cases} \]
- Calculez \( \det(A) \) pour : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Montrez que la méthode de Cramer échoue si \( \det(A) = 0 \).
- Appliquez la méthode de Cramer pour un système \( 3 \times 3 \) : \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + z = 3 \\ x + 2y – z = 4 \end{cases} \]
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les matrices de Cramer et leur application.
