La Formule pour la signature d’une permutation est un concept clé en algèbre et en combinatoire, utilisé pour déterminer si une permutation est paire ou impaire. Cet article explore cette formule en profondeur, en fournissant des exemples, des propriétés, et un quiz interactif pour évaluer vos connaissances.
»Formule pour la signature d’une permutation »
La Formule pour la signature d’une permutation est définie comme suit :
Soit \( \sigma \) une permutation de l’ensemble \( \{1, 2, \ldots, n\} \). La signature de \( \sigma \), notée \( \text{sgn}(\sigma) \), est donnée par :
\[ \text{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{inv}(\sigma)}, \]
où \( \text{inv}(\sigma) \) représente le nombre d’inversions dans \( \sigma \). Une inversion est un couple \( (i, j) \) tel que \( i < j \) et \( \sigma(i) > \sigma(j) \).Si \( \text{sgn}(\sigma) = 1 \), la permutation est paire, et si \( \text{sgn}(\sigma) = -1 \), elle est impaire.
Exemples sur »Formule pour la signature d’une permutation »
Voici quelques exemples pour illustrer l’application de la Formule pour la signature d’une permutation :
- Soit \( \sigma = (3, 1, 2) \). Les inversions sont : \[ (3, 1), (3, 2), (1, 2). \] Il y a \( \text{inv}(\sigma) = 3 \) inversions. Ainsi : \[ \text{sgn}(\sigma) = (-1)^3 = -1. \] La permutation \( \sigma \) est impaire.
- Pour \( \sigma = (1, 3, 2) \), les inversions sont : \[ (3, 2). \] Il y a \( \text{inv}(\sigma) = 1 \) inversion. Par conséquent : \[ \text{sgn}(\sigma) = (-1)^1 = -1. \] La permutation \( \sigma \) est impaire.
- Pour \( \sigma = (1, 2, 3) \), il n’y a pas d’inversion : \[ \text{sgn}(\sigma) = (-1)^0 = 1. \] La permutation \( \sigma \) est paire.
Propriétés
- **Relation avec le groupe symétrique** : La signature est un homomorphisme du groupe symétrique \( S_n \) vers \( \{-1, 1\} \).
- **Stabilité** : Si une permutation paire est composée avec une autre paire, le résultat est une permutation paire.
- **Lien avec le déterminant** : La signature est utilisée pour calculer le déterminant d’une matrice à partir de ses permutations.
Remarques
Bien que la Formule pour la signature d’une permutation soit un concept fondamental, il existe plusieurs façons de la calculer selon le contexte. Pour en savoir plus sur le rôle des permutations dans les matrices, consultez cet article sur les permutations.
Tester Vos connaissances
Ce quiz interactif vous permet de tester vos connaissances sur la Formule pour la signature d’une permutation. Répondez aux questions ci-dessous pour évaluer votre compréhension.
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