La Formule du binôme de Newton permet de développer l’expression \( (a + b)^n \) en une somme de termes impliquant les combinaisons.
Formule du binôme de Newton
La formule du binôme de Newton est donnée par :
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n – k} b^k
\]
où \( \binom{n}{k} \) est la combinaison de \( n \) éléments pris \( k \) à la fois.
Exemples sur la Formule du binôme de Newton
Développons \( (x + y)^3 \) :
\[ (x + y)^3 = \binom{3}{0}x^3 y^0 + \binom{3}{1}x^2 y^1 + \binom{3}{2}x^1 y^2 + \binom{3}{3}x^0 y^3 = x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3 \]Propriétés
- Application de la combinatoire aux polynômes
- Symétrie des coefficients : \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n – k} \)
- Relation avec les coefficients binomiaux et les triangles de Pascal
Remarques
La formule du binôme de Newton est fondamentale en algèbre et sert de base à de nombreux développements polynomiaux et séries.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Développez \( (2 + 3)^2 \) en utilisant la formule du binôme de Newton | 4 + 12 + 9 = 25 |
| Quel est le coefficient de \( a^2 b \) dans \( (a + b)^3 \) ? | 3 |
| Appliquez la formule pour \( (x – y)^4 \) | x^4 – 4x^3 y + 6x^2 y^2 – 4x y^3 + y^4 |
| Vrai ou faux : Le développement de \( (a + b)^n \) contient \( n + 1 \) termes | Vrai |
| Calculer \( (1 + 1)^5 \) en utilisant la formule du binôme de Newton | 32 |
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