La formule d’intégration par partie est une méthode essentielle pour évaluer des intégrales complexes en mathématiques avancées. Cet article vous fournira un aperçu détaillé de ses différentes versions, propriétés et applications.
Formule d’Intégration par Partie
La formule d’intégration par partie s’écrit comme suit :
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
Où :
- \( u \) est une fonction choisie pour simplifier \( du \).
- \( dv \) est la partie restante à intégrer pour obtenir \( v \).
Version généralisée :
\[ \int_a^b u \, dv = \left[ uv \right]_a^b – \int_a^b v \, du \]
Exemples sur Formule d’Intégration par Partie
Voici deux exemples pour illustrer son application :
- Exemple 1 : Calculer \(\int x e^x \, dx\).
- Choisissez \( u = x \) et \( dv = e^x \, dx \).
- Alors, \( du = dx \) et \( v = e^x \).
- En appliquant la formule : \[ \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx = x e^x – e^x + C \]
- Exemple 2 : Calculer \(\int \ln(x) \, dx\).
- Choisissez \( u = \ln(x) \) et \( dv = dx \).
- Alors, \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = x \).
- En appliquant la formule : \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) – x + C \]
Propriétés
- La formule repose sur une transformation des intégrales pour simplifier les calculs.
- Elle est souvent utilisée lorsque le produit des fonctions est difficile à intégrer directement.
- Elle peut être répétée plusieurs fois si l’intégrale résultante nécessite une nouvelle application.
Remarques
La méthode d’intégration par partie est une application directe du théorème fondamental du calcul intégral. Elle trouve des applications dans la résolution de problèmes complexes impliquant des fonctions logarithmiques et exponentielles.
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Tester vos connaissances
Ce quiz est conçu pour évaluer votre compréhension de la formule d’intégration par partie.
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