La Formule des probabilités totales est une règle fondamentale en théorie des probabilités permettant de calculer la probabilité d’un événement en le décomposant en cas disjoints.
Formule des probabilités totales
Exemples sur la Formule des probabilités totales
Supposons qu’un étudiant peut choisir de suivre une spécialité parmi trois options : Mathématiques, Physique, ou Chimie, avec des probabilités respectives \( P(B_1) = 0.3 \), \( P(B_2) = 0.5 \), et \( P(B_3) = 0.2 \). Si la probabilité de réussir en fonction de la spécialité choisie est \( P(A | B_1) = 0.8 \), \( P(A | B_2) = 0.6 \), et \( P(A | B_3) = 0.7 \), alors :
\[ P(A) = (0.8 \times 0.3) + (0.6 \times 0.5) + (0.7 \times 0.2) = 0.24 + 0.3 + 0.14 = 0.68 \]Propriétés
- Décomposition en événements disjoints
- Applicabilité lorsque les événements sont exhaustifs
- Base pour le théorème de Bayes
Remarques
La formule des probabilités totales est particulièrement utile lorsque l’événement \( A \) peut se produire sous différentes conditions mutuellement exclusives.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Si \( P(B_1) = 0.4 \), \( P(B_2) = 0.6 \), \( P(A|B_1) = 0.5 \), et \( P(A|B_2) = 0.7 \), calculez \( P(A) \) | 0.58 |
| Quelle condition doit satisfaire les événements \( B_i \) dans la formule des probabilités totales ? | Ils doivent être disjoints et exhaustifs. |
| Appliquez la formule des probabilités totales pour un dé à six faces équitable et \( A \) étant « obtenir un nombre pair » | 0.5 |
| Si \( P(B_1) = 0.2 \), \( P(B_2) = 0.3 \), \( P(B_3) = 0.5 \), \( P(A|B_1) = 0.6 \), \( P(A|B_2) = 0.4 \), et \( P(A|B_3) = 0.7 \), calculez \( P(A) \) | 0.6 |
| Vrai ou faux : La formule des probabilités totales nécessite que les \( B_i \) soient indépendants. | Faux |
Pour en savoir plus, visitez :
Visitez AllMathLevels.comPlus d’informations sur la formule des probabilités totales sur Wikipedia.
