La formule de Pascal est un concept fondamental en mathématiques, principalement utilisé dans le développement du binôme et la théorie des probabilités.
La formule de Pascal
La formule de Pascal repose sur le célèbre triangle de Pascal. Elle s’écrit :
\[ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \]
Cette relation est cruciale pour comprendre le développement binomial :
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
La structure du triangle permet d’énumérer les coefficients binomiaux de manière systématique.
Exemples sur la formule de Pascal
Voici un exemple d’application de la formule de Pascal :
- Pour \(n = 4\), les coefficients binomiaux sont obtenus via : \[ \binom{4}{0}, \binom{4}{1}, \binom{4}{2}, \binom{4}{3}, \binom{4}{4} \] Ce qui donne \(1, 4, 6, 4, 1\).
- Ces coefficients sont utilisés pour développer : \[ (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \]
Propriétés
- Symétrie : Dans le triangle de Pascal, \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
- Relation de récurrence : La formule suit une progression logique via : \[ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}. \]
- Somme : La somme des coefficients d’une ligne est \(2^n\).
Remarques
La formule de Pascal a des applications diverses en probabilités, algèbre, et même en physique.
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Exercices Interactifs
Mettez en pratique vos connaissances avec ces exercices :
| Question | Options |
|---|---|
| 1. Quelle est la valeur de \(\binom{5}{2}\) ? |
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| 2. Développez \((a+b)^3\). |
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| 3. Quelle est la somme des coefficients dans la ligne 4 du triangle de Pascal ? |
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