La Formule de la loi de Poisson décrit la probabilité du nombre d’événements se produisant dans un intervalle de temps ou d’espace fixe.
Formule de la loi de Poisson
La formule de la loi de Poisson est donnée par :
\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\]
où \( \lambda \) est le taux moyen d’événements et \( k \) est le nombre d’événements observés.
Exemples sur la Formule de la loi de Poisson
Supposons qu’en moyenne, 3 appels téléphoniques sont reçus par heure (\( \lambda = 3 \)). La probabilité de recevoir exactement 5 appels en une heure est :
\[ P(X = 5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} \approx \frac{243 \times 0.0498}{120} \approx 0.1008 \]Propriétés
- Les événements doivent se produire indépendamment les uns des autres
- Les événements doivent être rares et répartis de manière uniforme
- Le nombre d’événements dans des intervalles disjoints doit être indépendant
Remarques
La loi de Poisson est souvent utilisée pour modéliser des événements tels que les appels téléphoniques, les accidents, ou les défaillances d’équipements.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Calculer \( P(X = 4) \) pour \( \lambda = 2 \) | \( \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{16 \times 0.1353}{24} \approx 0.0902 \) |
| Quelle est la probabilité d’aucun événement (\( k=0 \)) pour \( \lambda = 5 \) ? | \( e^{-5} \approx 0.0067 \) |
| Déterminez \( P(X = 3) \) si \( \lambda = 4 \) | \( \frac{4^3 e^{-4}}{3!} = \frac{64 \times 0.0183}{6} \approx 0.1954 \) |
| Vrai ou faux : La loi de Poisson peut modéliser le nombre de clients arrivant dans une file d’attente | Vrai |
| Si \( \lambda = 7 \), calculez \( P(X \geq 2) \) | \( 1 – P(X=0) – P(X=1) = 1 – e^{-7} – 7e^{-7} \approx 1 – 0.0009 – 0.0063 = 0.9928 \) |
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