La Formule de covariance est utilisée en statistiques pour mesurer la manière dont deux variables varient ensemble.
Formule de covariance
La formule de covariance entre deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \) est définie par :
\[
\text{Cov}(X, Y) = E[(X – E[X])(Y – E[Y])]
\]
où \( E[X] \) et \( E[Y] \) sont les espérances de \( X \) et \( Y \), respectivement.
Exemples sur la Formule de covariance
Supposons que nous avons les variables suivantes :
- \( E[X] = 5 \)
- \( E[Y] = 3 \)
- \( E[XY] = 17 \)
Alors :
\[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY] – E[X]E[Y] = 17 – 5 \times 3 = 2 \]Propriétés
- Symétrie : \( \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X) \)
- Covariance linéaire : \( \text{Cov}(aX + b, Y) = a \cdot \text{Cov}(X, Y) \)
- Covariance d’une variable avec elle-même : \( \text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X) \)
Remarques
La covariance permet d’identifier la direction de la relation linéaire entre deux variables, mais ne normalise pas la force de cette relation.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Si \( E[X] = 4 \), \( E[Y] = 2 \), et \( E[XY] = 10 \), calculer \( \text{Cov}(X, Y) \) | 2 |
| Déterminez \( \text{Cov}(aX, Y) \) en fonction de \( a \) | \( a \cdot \text{Cov}(X, Y) \) |
| Quelle est la covariance de \( X \) avec lui-même ? | \( \text{Var}(X) \) |
| Vrai ou faux : La covariance de \( X \) et \( Y \) est toujours positive | Faux |
| Calculer \( \text{Cov}(3X + 2, Y) \) si \( \text{Cov}(X, Y) = 5 \) | 15 |
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