La Formule d’Al-Kashi est une généralisation de la loi des cosinus, attribuée au mathématicien persan Al-Kashi.
Formule d’Al-Kashi
La formule d’Al-Kashi pour un triangle avec côtés \( a \), \( b \), et \( c \), et angle \( \gamma \) opposé au côté \( c \), est donnée par :
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(\gamma)
\]
Cette formule est équivalente à la loi des cosinus.
Exemples sur la Formule d’Al-Kashi
Considérons un triangle avec \( a = 5 \), \( b = 7 \), et angle \( \gamma = 60^\circ \). Calculons \( c \) :
\[ c^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60^\circ) = 25 + 49 – 70 \times 0.5 = 74 – 35 = 39 \] Donc, \( c = \sqrt{39} \approx 6.245 \).Propriétés
- Généralisation du théorème de Pythagore
- Applicable à tout triangle, pas seulement aux triangles rectangles
- Permet de calculer des angles ou des côtés inconnus
Remarques
La formule d’Al-Kashi est essentielle en trigonométrie et en géométrie pour résoudre des triangles obliques.
Exercices Interactifs
| Question | Réponse |
|---|---|
| Dans un triangle, si \( a = 8 \), \( b = 6 \), et \( \gamma = 90^\circ \), calculez \( c \) | 10 |
| Appliquez la formule d’Al-Kashi pour un triangle où \( a = 7 \), \( b = 7 \), et \( \gamma = 45^\circ \) | \( c = \sqrt{98 – 98 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} \approx 7 \) |
| Quelle est la valeur de \( c \) si \( a = 5 \), \( b = 12 \), et \( \gamma = 60^\circ \) ? | \( c = \sqrt{25 + 144 – 120} = \sqrt{49} = 7 \) |
| Vrai ou faux : La formule d’Al-Kashi est uniquement valable pour les triangles équilatéraux | Faux |
| Si \( c = 10 \), \( a = 6 \), \( b = 8 \), calculez \( \cos(\gamma) \) | \( \cos(\gamma) = \frac{6^2 + 8^2 – 10^2}{2 \times 6 \times 8} = \frac{36 + 64 – 100}{96} = 0 \) |
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Visitez AllMathLevels.comEn savoir plus sur la loi des cosinus sur Wikipedia.
