La fonction zêta est une fonction fondamentale en mathématiques, notamment en théorie des nombres et en analyse complexe. Elle joue un rôle clé dans la compréhension des propriétés des nombres premiers et des séries infinies.
Fonction zêta
La fonction zêta de Riemann est définie pour \( s \in \mathbb{C} \), \( \Re(s) > 1 \), par la série :
\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}. \]
Elle peut être prolongée analytiquement à tout le plan complexe, sauf en \( s = 1 \) où elle admet un pôle simple.
Exemples sur la Fonction zêta
Quelques cas particuliers importants :
- Pour \( s = 2 \), \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\).
- Pour \( s = 4 \), \(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\).
- Pour \( s = -1 \), \(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\) (valeur obtenue par prolongement analytique).
La fonction zêta est également étroitement liée à la distribution des nombres premiers à travers l’identité :
\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ premier}} \frac{1}{1 – p^{-s}}, \]
valide pour \( \Re(s) > 1 \).
Propriétés
- Symétrie fonctionnelle : La fonction zêta satisfait l’équation fonctionnelle : \[ \zeta(1-s) = 2(2\pi)^{-s} \cos\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(s) \zeta(s), \] où \( \Gamma(s) \) est la fonction gamma.
- Les zéros non triviaux de \(\zeta(s)\) se trouvent dans la bande critique \( 0 < \Re(s) < 1 \).
- \( \zeta(s) \) est convergente pour \( \Re(s) > 1 \) et divergente ailleurs.
Méthodes
Pour étudier la fonction zêta, plusieurs approches sont utilisées :
- Prolongement analytique : Étendre \(\zeta(s)\) à l’ensemble du plan complexe.
- Calculs numériques : Approcher les valeurs de \(\zeta(s)\) avec des outils numériques, comme la méthode de Riemann-Siegel.
- Pour en savoir plus sur les fonctions analytiques complexes, visitez MathWorld.
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