La fonction indicatrice est une fonction mathématique importante utilisée pour indiquer l’appartenance d’un élément à un ensemble donné. Elle est souvent notée par \( \mathbf{1}_A(x) \), où \( A \) est l’ensemble.
Fonction indicatrice
La fonction indicatrice d’un ensemble \( A \) est définie comme suit :
$$ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in A, \\ 0 & \text{si } x \notin A. \end{cases} $$
Elle est largement utilisée dans des domaines comme les probabilités, les statistiques, et l’analyse fonctionnelle.
Exemples sur la Fonction indicatrice
Prenons l’ensemble \( A = \{1, 2, 3\} \). La fonction indicatrice est donnée par :
$$ \mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x = 1, 2, 3, \\ 0 & \text{autrement}. \end{cases} $$
Par exemple :
- \( \mathbf{1}_A(2) = 1 \)
- \( \mathbf{1}_A(4) = 0 \)
Propriétés
Linéarité : Si \( A_1 \) et \( A_2 \) sont des ensembles, alors \( \mathbf{1}_{A_1 \cup A_2}(x) = \mathbf{1}_{A_1}(x) + \mathbf{1}_{A_2}(x) – \mathbf{1}_{A_1 \cap A_2}(x) \).
Complémentarité : \( \mathbf{1}_{A^c}(x) = 1 – \mathbf{1}_A(x) \).
Multiplication : \( \mathbf{1}_{A_1 \cap A_2}(x) = \mathbf{1}_{A_1}(x) \cdot \mathbf{1}_{A_2}(x) \).
Méthodes sur la Fonction indicatrice
Les fonctions indicatrices peuvent être manipulées en utilisant des outils d’algèbre booléenne et des méthodes d’intégration. Voici quelques ressources utiles :
Tester Vos Connaissances
Ce quiz a pour but d’évaluer votre compréhension des concepts liés à la fonction indicatrice.
