La fonction exponentielle est une fonction fondamentale en mathématiques, définie comme \( f(x) = e^x \), où \( e \) est la base des logarithmes naturels. Elle joue un rôle clé dans de nombreux domaines tels que l’analyse, les probabilités et la physique.
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est donnée par la série infinie :
$$ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}, $$
où \( n! \) est la factorielle de \( n \). Elle possède des propriétés remarquables telles que sa propre dérivabilité et intégrabilité.
Exemples sur la Fonction exponentielle
Prenons quelques exemples concrets pour illustrer la fonction exponentielle :
– Pour \( x = 0 \), \( e^x = 1 \).
– Pour \( x = 1 \), \( e^x = e \approx 2.718 \).
– Pour \( x = -1 \), \( e^x = \frac{1}{e} \approx 0.368 \).
La fonction exponentielle est également utilisée pour résoudre des équations différentielles linéaires, telles que :
$$ y’ = ky \quad \Rightarrow \quad y = Ce^{kx}, $$
où \( C \) est une constante.Propriétés
Dérivabilité : La dérivée de \( e^x \) est elle-même, c’est-à-dire \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \).
Continuité : La fonction est continue sur \( \mathbb{R} \).
Multiplicativité : \( e^{x+y} = e^x \cdot e^y \).
Inverse : L’inverse de \( e^x \) est \( e^{-x} \).
Méthodes sur la Fonction exponentielle
Pour approfondir l’étude de la fonction exponentielle, vous pouvez explorer des outils tels que :
Tester Vos Connaissances
Ce quiz a pour but d’évaluer votre compréhension des concepts liés à la fonction exponentielle.
