Fonction de Weierstrass
La fonction de Weierstrass est un exemple fondamental dans l’analyse mathématique, démontrant une fonction continue mais nulle part dérivable. Cette particularité en fait un sujet clé dans l’étude des fonctions pathologiques.
Fonction de Weierstrass
La fonction de Weierstrass est définie par :
$$ W(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x), $$
où \( 0 < a < 1 \), \( b \) est un entier positif impair, et \( ab > 1+\frac{3\pi}{2} \).
Cette fonction est continuellement oscillante, ce qui rend sa dérivabilité impossible en tout point.
Exemples sur la Fonction de Weierstrass
Prenons des valeurs spécifiques pour \( a \) et \( b \) :
$$ W(x) = \sum_{n=0}^\infty 0.5^n \cos(3^n \pi x). $$
Dans cet exemple, on observe que la fonction est continue pour tout \( x \), mais une tentative de calculer une dérivée locale montre des oscillations infinies.
Propriétés sur la Fonction de Weierstrass
Continuité : La fonction est continue pour tout \( x \).
Non-dérivabilité : Elle n’est dérivable en aucun point.
Fractalité : La fonction exhibe une structure fractale à toutes les échelles.
Méthodes sur la Fonction de Weierstrass
Pour analyser la fonction, les outils suivants sont essentiels :
- Calcul différentiel : Utilisé pour tester la non-dérivabilité.
- Analyse de séries : Étude des sommes infinies.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz a pour but d’évaluer votre compréhension des concepts liés à la fonction de Weierstrass.
