La fonction de répartition est un concept fondamental en théorie des probabilités et en statistiques. Elle permet de décrire la probabilité qu’une variable aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur donnée.
Fonction de répartition
La fonction de répartition \( F_X(x) \) d’une variable aléatoire \( X \) est définie par :
\[ F_X(x) = P(X \leq x) \]
où \( P(X \leq x) \) représente la probabilité que \( X \) soit inférieure ou égale à \( x \).
Exemples sur la fonction de répartition
Considérons une variable aléatoire discrète \( X \) qui prend les valeurs 1, 2, et 3 avec les probabilités respectives \( P(X=1) = 0.3 \), \( P(X=2) = 0.5 \), et \( P(X=3) = 0.2 \). La fonction de répartition \( F_X(x) \) est donnée par :
\[ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0.3 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0.8 & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 1 & \text{si } x \geq 3 \end{cases} \]
Propriétés
La fonction de répartition possède plusieurs propriétés importantes :
- Elle est non décroissante.
- Elle est continue à droite.
- \( \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1 \).
Méthodes
Pour calculer la fonction de répartition, on peut utiliser différentes méthodes selon la nature de la variable aléatoire :
- Pour une variable aléatoire discrète, on somme les probabilités jusqu’à la valeur donnée.
- Pour une variable aléatoire continue, on intègre la fonction de densité de probabilité.
Pour en savoir plus sur les méthodes avancées, consultez ce lien.
Tester Vos connaissances
Testez vos connaissances sur la fonction de répartition avec ce quiz :
Question 1 : Quelle est la définition de la fonction de répartition ?
Question 2 : La fonction de répartition est-elle non décroissante ?
Question 3 : Quelle est la limite de \( F_X(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \) ?
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