Fonction Continue
Une fonction continue est une notion fondamentale en mathématiques, particulièrement en analyse. Cette propriété caractérise les fonctions pour lesquelles les petites variations de l’entrée entraînent de petites variations de la sortie, sans rupture ou saut.
En d’autres termes, une fonction \( f(x) \) est continue sur un intervalle \( I \) si, pour tout point \( a \in I \), les trois conditions suivantes sont remplies :
- \( f(a) \) est défini.
- \( \lim_{x \to a} f(x) \) existe.
- \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \).
Exemples sur la Fonction Continue
Considérons les exemples suivants pour mieux comprendre la notion :
1. La fonction \( f(x) = x^2 \) est continue sur \( \mathbb{R} \) car elle satisfait les trois conditions de continuité.
2. En revanche, la fonction définie par :
\[ f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x < 0, \\ x+2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \] n'est pas continue en \( x = 0 \) car \( \lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x) \).Propriétés
- Addition et soustraction : Si \( f(x) \) et \( g(x) \) sont continues sur un intervalle, \( f(x) + g(x) \) et \( f(x) – g(x) \) sont également continues.
- Produit : Le produit de deux fonctions continues est continu.
- Quotient : Le quotient de deux fonctions continues est continu, sauf si le dénominateur s’annule.
- Composition : La composition de deux fonctions continues est continue.
Méthodes
Pour vérifier si une fonction est continue, vous pouvez suivre les étapes suivantes :
- Vérifiez si \( f(a) \) est défini pour le point considéré.
- Calculez \( \lim_{x \to a} f(x) \).
- Comparez \( \lim_{x \to a} f(x) \) avec \( f(a) \).
Vous pouvez explorer des méthodes supplémentaires ici.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz a pour objectif de tester votre compréhension de la continuité des fonctions. Répondez aux questions ci-dessous et découvrez vos résultats.
