Une fonction bijective est une fonction mathématique qui établit une correspondance parfaite entre les éléments de son domaine et ceux de son codomaine. Ces fonctions jouent un rôle central dans les mathématiques avancées et leurs applications pratiques, en particulier dans les théories des ensembles et des fonctions inverses.
Fonction bijective
Une fonction \( f : A \to B \) est appelée bijective si elle satisfait les deux conditions suivantes :
- Injectivité : Chaque élément de \( B \) a au plus un antécédent dans \( A \).
- Surjectivité : Chaque élément de \( B \) a au moins un antécédent dans \( A \).
Une fonction bijective garantit une correspondance exacte entre les ensembles \( A \) et \( B \), c’est-à-dire qu’il existe une fonction inverse \( f^{-1} \).
Exemples sur la Fonction bijective
Voici quelques exemples concrets :
- La fonction identité \( f(x) = x \) sur \( \mathbb{R} \) est bijective.
- La fonction exponentielle \( f(x) = e^x \) est bijective de \( \mathbb{R} \) à \( \mathbb{R}^+ \).
- La fonction \( f(x) = 2x + 1 \) est également bijective sur \( \mathbb{R} \).
Propriétés
Une fonction bijective présente les propriétés suivantes :
- Elle est inversible : il existe une fonction \( f^{-1} \) telle que : \[ f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{et} \quad f^{-1}(f(x)) = x. \]
- Dans un graphe cartésien, elle n’intersecte jamais une droite parallèle à l’axe des ordonnées plus d’une fois.
- Pour les ensembles finis, une fonction est bijective si et seulement si la taille du domaine est égale à celle du codomaine.
Méthodes
Pour vérifier qu’une fonction est bijective, procédez comme suit :
- Injectivité : Montrez que \( f(x_1) = f(x_2) \) implique \( x_1 = x_2 \).
- Surjectivité : Montrez que pour tout \( y \in B \), il existe un \( x \in A \) tel que \( f(x) = y \).
Par exemple, pour \( f(x) = 2x + 1 \) :
- Injectivité : Si \( 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \), alors \( x_1 = x_2 \).
- Surjectivité : Pour tout \( y \), il existe \( x = \frac{y – 1}{2} \) tel que \( f(x) = y \).
Pour plus d’informations, consultez MathWorld.
Tester Vos connaissances
L’objectif de ce quiz est de vérifier votre compréhension des fonctions bijectives. Répondez aux questions ci-dessous :
Les fonctions bijectives sont essentielles dans l’étude des mathématiques avancées, en particulier pour comprendre les fonctions inversibles et les transformations d’ensembles. Pour approfondir vos connaissances, explorez davantage les ressources spécialisées.
