Le déterminant d’une matrice est un outil fondamental en algèbre linéaire qui mesure certaines propriétés d’une matrice, telles que la singularité, le volume d’un parallélépipède et bien plus encore. Calculer le déterminant d’une matrice est crucial pour résoudre des systèmes linéaires, effectuer des inversions et évaluer des transformations linéaires.
Déterminant d’une matrice
Le déterminant est une fonction scalaire associée à une matrice carrée \( A \) de dimension \( n \times n \), notée \( \det(A) \) ou \( |A| \). Pour une matrice \( 2 \times 2 \), le déterminant est donné par :
\[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad – bc \]
Pour une matrice \( 3 \times 3 \), le déterminant est calculé comme suit :
\[ \det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg) \]
Exemples sur le Déterminant d’une matrice
Prenons les matrices suivantes :
1. Une matrice \( 2 \times 2 \) : \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \] Son déterminant est : \[ \det(A) = (3)(5) – (4)(2) = 15 – 8 = 7 \]
2. Une matrice \( 3 \times 3 \) : \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \] Son déterminant est calculé par : \[ \det(B) = 1(5 \cdot 9 – 6 \cdot 8) – 2(4 \cdot 9 – 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 – 5 \cdot 7) = 0 \]
Propriétés
- Si \( \det(A) = 0 \), la matrice \( A \) est dite singulière, c’est-à-dire qu’elle n’est pas inversible.
- Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des éléments de sa diagonale principale.
- Si deux lignes ou colonnes d’une matrice sont identiques, son déterminant est nul.
- Si une matrice \( A \) est multipliée par un scalaire \( k \), alors \( \det(kA) = k^n \det(A) \), où \( n \) est la dimension de la matrice.
- Le déterminant d’un produit de matrices est le produit des déterminants : \( \det(AB) = \det(A)\det(B) \).
Méthodes sur le Déterminant d’une matrice
Pour calculer le déterminant d’une matrice :
- Pour une matrice \( 2 \times 2 \), utilisez la formule \( \det(A) = ad – bc \).
- Pour une matrice \( 3 \times 3 \), utilisez l’expansion par les cofacteurs ou la règle de Sarrus.
- Pour des matrices de dimension supérieure, appliquez une décomposition (LU, QR) ou une expansion récursive.
Des outils comme NumPy ou MATLAB permettent de calculer efficacement les déterminants de matrices.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Calculez le déterminant de : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]
- Vérifiez si la matrice suivante est singulière : \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]
Exercice Difficile :
- Prouvez que le déterminant d’une matrice diagonale est égal au produit de ses éléments diagonaux.
- Calculez le déterminant de : \[ C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \] en utilisant l’expansion par les cofacteurs.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur le calcul et les propriétés des déterminants.
