La Démonstration du théorème du point fixe de Banach, aussi connu sous le nom de théorème de la contraction, est un résultat fondamental en analyse fonctionnelle, trouvant des applications dans de nombreux domaines des mathématiques et au-delà.
Enoncé du théorème
Soit \( (X, d) \) un espace métrique complet non vide. Soit \( f: X \to X \) une application contractante, c’est-à-dire qu’il existe une constante \( k \in [0, 1) \) telle que pour tous \( x, y \in X \), on ait :
\[ d(f(x), f(y)) \leq k \cdot d(x, y) \]
Alors, il existe un unique point fixe \( x^* \in X \) tel que \( f(x^*) = x^* \). De plus, pour tout \( x_0 \in X \), la suite définie par récurrence \( x_{n+1} = f(x_n) \) converge vers \( x^* \).
Démonstration du théorème du point fixe de Banach
La démonstration repose sur la construction d’une suite de Cauchy qui, grâce à la complétude de l’espace métrique, converge vers le point fixe recherché.
Commençons par choisir un point arbitraire \( x_0 \in X \) et définissons la suite \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) par \( x_{n+1} = f(x_n) \). Nous allons montrer que cette suite est de Cauchy. Considérons la distance entre deux termes quelconques de la suite, \( x_n \) et \( x_m \), avec \( m > n \). Sans perte de généralité, supposons \( m = n + p \) pour un certain \( p \in \mathbb{N}^* \).
En utilisant l’inégalité triangulaire et la propriété de contraction de \( f \), nous obtenons :
\[ d(x_n, x_{n+p}) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, x_{n+2}) + \dots + d(x_{n+p-1}, x_{n+p}) \]
\[ d(x_n, x_{n+p}) \leq d(f^n(x_0), f^n(x_1)) + d(f^{n+1}(x_0), f^{n+1}(x_1)) + \dots + d(f^{n+p-1}(x_0), f^{n+p-1}(x_1)) \]
En appliquant \( n \) fois la propriété de contraction, on a \( d(f^n(x_0), f^n(x_1)) \leq k^n d(x_0, x_1) \). Ainsi :
\[ d(x_n, x_{n+p}) \leq k^n d(x_0, x_1) + k^{n+1} d(x_0, x_1) + \dots + k^{n+p-1} d(x_0, x_1) \]
\[ d(x_n, x_{n+p}) \leq d(x_0, x_1) \sum_{i=0}^{p-1} k^{n+i} = k^n d(x_0, x_1) \sum_{i=0}^{p-1} k^i \]
La somme \( \sum_{i=0}^{p-1} k^i \) est une somme partielle de série géométrique de raison \( k < 1 \), donc elle est majorée par \( \frac{1}{1-k} \). Par conséquent :
\[ d(x_n, x_{n+p}) \leq k^n d(x_0, x_1) \frac{1}{1-k} \]
Comme \( k \in [0, 1) \), \( k^n \to 0 \) quand \( n \to \infty \). Donc, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe \( N \) tel que pour tout \( n > N \) et tout \( p > 0 \), \( d(x_n, x_{n+p}) < \epsilon \). Cela montre que la suite \( (x_n) \) est de Cauchy.
Puisque \( (X, d) \) est complet, la suite \( (x_n) \) converge vers une limite \( x^* \in X \). Montrons que \( x^* \) est un point fixe de \( f \). Par continuité de \( f \) (qui découle de la propriété de contraction, toute application contractante est uniformément continue), on a :
\[ f(x^*) = f(\lim_{n \to \infty} x_n) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = x^* \]
Donc, \( x^* \) est bien un point fixe de \( f \).
Pour l’unicité, supposons qu’il existe un autre point fixe \( y^* \) tel que \( f(y^*) = y^* \). Alors :
\[ d(x^*, y^*) = d(f(x^*), f(y^*)) \leq k d(x^*, y^*) \]
Puisque \( k < 1 \), la seule possibilité est que \( d(x^*, y^*) = 0 \), ce qui implique \( x^* = y^* \). Le point fixe est donc unique.
L’étude des espaces complets et des suites de Cauchy est essentielle pour une compréhension approfondie de ce théorème.
Ce théorème garantit l’existence et l’unicité d’une solution pour de nombreuses équations, et la méthode itérative fournit un moyen de l’approcher numériquement.
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