La Démonstration du théorème d’Euler est essentielle pour comprendre les fondements de la théorie des nombres avancée et ses applications en cryptographie.
Énoncé du théorème
Théorème d’Euler : Soient \( a \) et \( n \) deux entiers relatifs tels que \( \gcd(a, n) = 1 \). Alors :
\[ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]
où \( \varphi(n) \) est la fonction indicatrice d’Euler, représentant le nombre d’entiers positifs inférieurs ou égaux à \( n \) qui sont premiers avec \( n \).
Démonstration du théorème d’Euler
Pour démontrer le théorème d’Euler, nous exploitons les propriétés du groupe multiplicatif modulo \( n \) et le théorème de Lagrange sur les groupes finis.
Étape 1 : Structure du Groupe Multiplicatif
Considérons le groupe \( (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \), composé des entiers modulo \( n \) premiers avec \( n \). Ce groupe est fini d’ordre \( \varphi(n) \).
Étape 2 : Ordre d’un Élément
Pour un élément \( a \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \), l’ordre de \( a \), noté \( \text{ord}_n(a) \), est le plus petit entier positif tel que :
\[ a^{\text{ord}_n(a)} \equiv 1 \pmod{n} \]
Par le théorème de Lagrange, \( \text{ord}_n(a) \) divise \( \varphi(n) \).
Il existe donc un entier \( k \) tel que :
\[ \varphi(n) = k \times \text{ord}_n(a) \]
En élevant \( a \) à la puissance \( \varphi(n) \), nous obtenons :
\[ a^{\varphi(n)} = \left(a^{\text{ord}_n(a)}\right)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{n} \]
Ceci conclut la démonstration du théorème d’Euler.
Pour approfondir vos connaissances en théorie des nombres, vous pouvez consulter des ressources supplémentaires telles que Wikipedia ou MathWorld.
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