Démonstration du théorème d’Egorov est une pierre angulaire en analyse réelle et dans l’étude de la convergence des suites de fonctions mesurables. Cet article propose une démonstration rigoureuse de ce théorème essentiel, adaptée au niveau supérieur de la faculté.
Enoncé du théorème
Le théorème d’Egorov traite de la convergence uniforme presque partout d’une suite de fonctions mesurables. L’énoncé formel est le suivant :
Soit \( (f_n) \) une suite de fonctions mesurables sur un espace mesurable \( (X, \mathcal{A}, \mu) \), convergeant presque partout vers une fonction \( f \) sur un ensemble \( E \subset X \) de mesure finie. Alors, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe un sous-ensemble \( E_\epsilon \subset E \) tel que :
- \( \mu(E \setminus E_\epsilon) < \epsilon \),
- la suite \( (f_n) \) converge uniformément vers \( f \) sur \( E_\epsilon \).
En d’autres termes, la convergence presque partout peut être améliorée en convergence uniforme sur un ensemble de mesure arbitrairement proche de celle de \( E \).
Démonstration du théorème d’Egorov
Nous allons démontrer ce théorème en suivant les étapes suivantes :
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Étape 1 : Définition des ensembles de convergence
La convergence presque partout signifie que :
\[ \mu\left(\{x \in E : \lim_{n \to \infty} f_n(x) \neq f(x)\}\right) = 0. \]Pour chaque \( k \in \mathbb{N}^* \), définissons :
\[ E_k = \left\{ x \in E : \sup_{n, m \geq k} |f_n(x) – f_m(x)| < \frac{1}{k} \right\}. \]Chaque \( E_k \) est mesurable, et \( E_k \subset E_{k+1} \). De plus, \( \bigcup_{k=1}^\infty E_k = E \setminus N \), où \( N \) est de mesure nulle.
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Étape 2 : Construction de \( E_\epsilon \)
Fixons \( \epsilon > 0 \). Puisque \( \mu(E) \) est finie, il existe un \( k \) suffisamment grand tel que :
\[ \mu(E \setminus E_k) < \epsilon. \]Posons \( E_\epsilon = E_k \). Sur cet ensemble, la suite \( (f_n) \) est équicontinue et la convergence devient uniforme.
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Étape 3 : Uniformité de la convergence
Sur \( E_\epsilon \), pour tout \( \delta > 0 \), il existe un \( N \) tel que pour tout \( n, m \geq N \) :
\[ \sup_{x \in E_\epsilon} |f_n(x) – f_m(x)| < \delta. \]Cela implique que \( (f_n) \) converge uniformément vers \( f \) sur \( E_\epsilon \).
La démonstration est ainsi complétée, établissant que la convergence presque partout peut être transformée en convergence uniforme sur un ensemble de mesure aussi grande que souhaitée.
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