Démonstration du théorème de Taylor est un outil fondamental en analyse mathématique, particulièrement utile pour l’approximation de fonctions et leur étude locale. Cet article explore la démonstration rigoureuse de ce théorème en détail, adaptée aux étudiants avancés en mathématiques.
Enoncé du théorème
Le théorème de Taylor permet d’exprimer une fonction \( f(x) \), qui est \( n \)-fois différentiable sur un intervalle, comme une somme polynomiale et un reste. Il s’énonce ainsi :
Soit \( f \) une fonction \( n+1 \)-fois différentiable sur un intervalle \([a, b]\). Alors, pour tout \( x \in [a, b] \), il existe un \( c \in [a, x] \) ou \( c \in [x, b] \) tel que :
\[ f(x) = P_n(x) + R_n(x), \] où \( P_n(x) \) est le polynôme de Taylor d’ordre \( n \) donné par : \[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f »(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n, \] et \( R_n(x) \) est le reste donné par : \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \]Cela signifie que \( f(x) \) est approchée par son polynôme de Taylor, avec une erreur contrôlée par le reste \( R_n(x) \).
Démonstration du théorème de Taylor
Nous procédons à la démonstration en utilisant les étapes suivantes :
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Étape 1 : Définition de la fonction auxiliaire
Soit une fonction auxiliaire \( g(t) \) définie par :
\[ g(t) = f(t) – P_n(t), \] où \( P_n(t) \) est le polynôme de Taylor défini ci-dessus. Le reste à démontrer est que \( g(x) = R_n(x) \) et suit la formule donnée. -
Étape 2 : Application du théorème des accroissements finis
En différenciant \( g(t) \), nous constatons que \( g(t) \) satisfait les conditions pour appliquer le théorème des accroissements finis ou de Rolle pour localiser le point \( c \).
Le théorème des accroissements finis garantit qu’il existe un \( c \) tel que :
\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \] -
Étape 3 : Approximation locale
Le terme \( P_n(x) \) étant un polynôme, il est utilisé pour approximer \( f(x) \) autour du point \( a \). La partie \( R_n(x) \) donne la correction exacte pour garantir l’égalité entre \( f(x) \) et son approximation.
La démonstration du théorème de Taylor est ainsi complétée, établissant une relation précise entre une fonction et son approximation polynomiale, avec un contrôle clair de l’erreur à l’aide du terme de reste.
Pour des exemples d’applications en physique ou en ingénierie, explorez des ressources comme arXiv ou MathWorld.
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