La démonstration du théorème de Riemann est un pilier fondamental de l’analyse mathématique, ayant des implications profondes dans la théorie des intégrales et des fonctions continues. Cet article explore en détail l’énoncé et la démonstration de ce théorème clé.
Énoncé du théorème de Riemann
Le théorème de Riemann établit les conditions sous lesquelles une fonction continue sur un intervalle fermé peut être approximée par des sommes de Riemann, permettant ainsi de définir l’intégrale Riemannienne.
En termes formels :
$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\|P\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i,$$
où :
- \( P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}\) est une partition de l’intervalle \([a, b]\).
- \( \|P\| \) est la norme de la partition (la longueur maximale des sous-intervalles).
- \( c_i \in [x_{i-1}, x_i] \) est un point dans le sous-intervalle \([x_{i-1}, x_i]\).
- \( \Delta x_i = x_i – x_{i-1} \).
Le théorème garantit que cette limite existe pour toute fonction continue \( f \) sur \([a, b]\).
Démonstration du théorème de Riemann
La démonstration du théorème de Riemann repose sur la continuité de la fonction et l’approche par approximations successives. Voici les principales étapes :
1. Construction des partitions
Considérons une partition \( P \) de \([a, b]\) donnée par :
$$P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}, \quad a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b.$$
À mesure que \( \|P\| \to 0 \), la longueur maximale des sous-intervalles diminue, ce qui permet une meilleure approximation de l’aire sous la courbe.
2. Approximation par continuité
Grâce à la continuité de \( f \), pour tout \(\epsilon > 0\), il existe une partition \( P \) telle que :
$$\left| \int_a^b f(x) \, dx – \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i \right| < \epsilon.$$
Ceci repose sur la définition de la continuité uniforme, qui garantit que les variations locales de \( f \) sont contrôlées.
3. Passage à la limite
En raffinant la partition \( P \), c’est-à-dire en réduisant \( \|P\| \), les sommes de Riemann convergent vers la valeur exacte de l’intégrale, ce qui établit la validité de la formule intégrale.
Pour approfondir les techniques d’intégration et leurs applications, consultez cet article sur les méthodes d’intégration.
