La Démonstration du théorème de L’Hôpital est un sujet fondamental en analyse mathématique, et cet article vise à fournir une explication détaillée et rigoureuse de ce théorème essentiel, destinée aux étudiants de niveau supérieur en mathématiques.
Le théorème de L’Hôpital est un outil puissant pour évaluer les limites de formes indéterminées, telles que $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Sa compréhension et sa maîtrise sont cruciales pour résoudre des problèmes complexes en calcul différentiel et intégral. Il a aussi des applications dans divers domaines comme dans la physique, l’ingénierie etc…
Enoncé du théorème
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ contenant le point $a$ (qui peut être un réel ou $\pm\infty$). Supposons que :
- $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ ou $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \pm\infty$.
- $f$ et $g$ sont dérivables sur $I \setminus \{a\}$.
- $g'(x) \neq 0$ pour tout $x \in I \setminus \{a\}$.
- La limite $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe.
Alors, la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ existe, et on a :
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Démonstration du théorème de L’Hôpital
Nous allons considérer le cas où $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$, et où $a$ est un réel. La démonstration pour les autres cas est similaire et repose sur des arguments analogues.
Comme $f$ et $g$ sont continues, par hypothèse, en $a$ on pose $f(a)=0$ et $g(a)=0$ et donc les fonctions $f$ et $g$ sont continue sur un voisinage de $a$.
Puisque $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, on peut fixer $\epsilon > 0$. Alors il existe $\delta > 0$ tel que : \[ \left| \frac{f'(x)}{g'(x)} – L \right| < \epsilon \] pour tout $x$ tel que $0 < |x - a| < \delta$, où $L = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.
Soit $x \in I$ tel que $0 < |x - a| < \delta$. D'après le théorème des accroissements finis appliqué aux fonctions $f$ et $g$ sur l’intervalle $[a, x]$ (ou $[x, a]$ si $x < a$), il existe des points $c$ et $d$ entre $a$ et $x$ tels que :
\[f(x) – f(a) = f'(c)(x – a)\] \[g(x) – g(a) = g'(d)(x – a)\]
Comme $f(a) = g(a) = 0$, on a :
\[f(x) = f'(c)(x – a)\] \[g(x) = g'(d)(x – a)\]
Puisque $g'(x) \neq 0$ sur $I \setminus \{a\}$ et que $d$ est entre $a$ et $x$, on a $g'(d) \neq 0$ et $g(x) \neq 0$. On peut donc écrire :
\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)(x – a)}{g'(d)(x – a)} = \frac{f'(c)}{g'(d)}\]
Si on applique le théorème de Cauchy, il existe un $k$ entre $a$ et $x$, tel que :
\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(k)}{g'(k)}\]
Lorsque $x$ tend vers $a$, $k$ tend également vers $a$. Puisque la limite $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe et vaut $L$, et comme $k$ est « coincé » entre $x$ et $a$, on a également $\lim_{x \to a} \frac{f'(k)}{g'(k)} = L$.
Donc on peut ecrire :
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(k)}{g'(k)} = L = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
Ceci achève la démonstration du théorème de L’Hôpital dans le cas considéré.
Pour en savoir plus sur d’autres théorèmes mathématiques, vous pouvez consulter des ressources en ligne, comme Wikipedia sur l’analyse ou des sites web spécialisés en mathématiques, tels que Khan Academy.
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