Cet article présente une démonstration du théorème de Heine-Borel, un résultat fondamental en analyse réelle. Ce théorème fournit une caractérisation importante des sous-ensembles compacts de l’espace euclidien.
Enoncé du théorème
Soit \(K\) un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n\). Alors les propositions suivantes sont équivalentes:
- \(K\) est fermé et borné.
- \(K\) est compact, c’est-à-dire que de tout recouvrement ouvert de \(K\), on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Démonstration du théorème de Heine-Borel
Nous allons démontrer l’équivalence en deux étapes :
1. Si \(K\) est compact, alors \(K\) est fermé et borné.
Fermeture :
Montrons d’abord que \(K\) est fermé. Pour cela, nous allons montrer que son complémentaire \(K^c\) est ouvert. Soit \(x \in K^c\). Pour tout \(y \in K\), comme \(x \neq y\), il existe des ouverts disjoints \(U_y\) et \(V_y\) tels que \(x \in U_y\) et \(y \in V_y\). La famille \(\{V_y\}_{y \in K}\) forme un recouvrement ouvert de \(K\). Par compacité, il existe un sous-recouvrement fini \(\{V_{y_1}, V_{y_2}, …, V_{y_n}\}\) de \(K\). Considérons l’ouvert \(U = \bigcap_{i=1}^n U_{y_i}\). On a \(x \in U\) et \(U \cap K = \emptyset\) (car \(U\) est disjoint de chaque \(V_{y_i}\), et les \(V_{y_i}\) recouvrent \(K\)). Donc \(U \subset K^c\), ce qui montre que \(K^c\) est ouvert, et donc \(K\) est fermé.
Borne :
Montrons que \(K\) est borné. Considérons le recouvrement ouvert de \(K\) par les boules ouvertes \(B(0, n)\), où \(n \in \mathbb{N}\). Par compacité, il existe un sous-recouvrement fini \(\{B(0, n_1), B(0, n_2), …, B(0, n_k)\}\). Soit \(N = \max\{n_1, n_2, …, n_k\}\). Alors \(K \subset B(0, N)\), ce qui montre que \(K\) est borné.
2. Si \(K\) est fermé et borné, alors \(K\) est compact.
Nous allons utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass. Soit \(\{U_i\}_{i \in I}\) un recouvrement ouvert de \(K\). Supposons par l’absurde qu’il n’existe pas de sous-recouvrement fini. Comme \(K\) est borné, il est inclus dans un pavé fermé \(P_0 = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times … \times [a_n, b_n]\). Divisons \(P_0\) en \(2^n\) sous-pavés en divisant chaque intervalle \([a_i, b_i]\) en deux intervalles égaux. Au moins un de ces sous-pavés, noté \(P_1\), est tel que \(K \cap P_1\) ne peut pas être recouvert par un nombre fini d’éléments de \(\{U_i\}_{i \in I}\). En itérant ce processus, on construit une suite de pavés fermés \(P_0 \supset P_1 \supset P_2 \supset …\) tels que pour tout \(k\), \(K \cap P_k\) ne peut pas être recouvert par un nombre fini d’éléments de \(\{U_i\}_{i \in I}\), et le diamètre de \(P_k\) tend vers 0. Par le théorème des segments emboîtés, l’intersection des \(P_k\) est réduite à un point \(x\). Puisque \(K\) est fermé et que \(K \cap P_k \neq \emptyset\) pour tout \(k\), on a \(x \in K\). Donc il existe \(i_0 \in I\) tel que \(x \in U_{i_0}\). Comme \(U_{i_0}\) est ouvert et que le diamètre de \(P_k\) tend vers 0, il existe \(k\) tel que \(P_k \subset U_{i_0}\). Alors \(K \cap P_k \subset U_{i_0}\), ce qui contredit le fait que \(K \cap P_k\) ne peut pas être recouvert par un nombre fini d’éléments de \(\{U_i\}_{i \in I}\). Donc \(K\) est compact.
La démonstration du théorème de Heine-Borel est ainsi achevée.
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