La Démonstration du théorème de Fubini est un pilier fondamental de la théorie de l’intégration, permettant de simplifier le calcul d’intégrales multiples sous certaines conditions.
Énoncé du théorème
Soient $(X, \mathcal{A}, \mu)$ et $(Y, \mathcal{B}, \nu)$ deux espaces mesurés $\sigma$-finis. Soit $f: X \times Y \to \mathbb{R}$ une fonction mesurable par rapport à la tribu produit $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$. Alors :
- Si $f \ge 0$, alors $$ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \otimes \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x,y) \, d\nu(y) \right) \, d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x,y) \, d\mu(x) \right) \, d\nu(y). $$
- Si $\int_{X \times Y} |f| \, d(\mu \otimes \nu) < \infty$, alors $$ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \otimes \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x,y) \, d\nu(y) \right) \, d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x,y) \, d\mu(x) \right) \, d\nu(y). $$
En d’autres termes, si la fonction est positive ou si son intégrale de sa valeur absolue est finie, on peut inverser l’ordre d’intégration.
Démonstration du théorème de Fubini
La Démonstration du théorème de Fubini repose sur une approche en plusieurs étapes, s’appuyant sur la théorie de la mesure et l’intégration de Lebesgue. Voici les grandes lignes de la preuve :
Étape 1 : Fonctions indicatrices. On commence par démontrer le théorème pour les fonctions indicatrices d’ensembles mesurables élémentaires de la forme $A \times B$, où $A \in \mathcal{A}$ et $B \in \mathcal{B}$. Dans ce cas, l’égalité des intégrales est une conséquence directe de la définition de la mesure produit $\mu \otimes \nu$. $$ \int_{X \times Y} \mathbb{1}_{A \times B} \, d(\mu \otimes \nu) = (\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A)\nu(B) $$ Et \begin{align*} \int_X \left( \int_Y \mathbb{1}_{A \times B}(x,y) \, d\nu(y) \right) \, d\mu(x) &= \int_X \left( \int_Y \mathbb{1}_A(x)\mathbb{1}_B(y) \, d\nu(y) \right) \, d\mu(x) \\ &= \int_X \mathbb{1}_A(x) \left( \int_Y \mathbb{1}_B(y) \, d\nu(y) \right) \, d\mu(x) \\ &= \int_X \mathbb{1}_A(x) \nu(B) \, d\mu(x) \\ &= \mu(A)\nu(B). \end{align*} Un raisonnement similaire s’applique pour l’autre ordre d’intégration.
Étape 2 : Fonctions étagées positives. Le théorème est ensuite étendu aux combinaisons linéaires finies à coefficients positifs de fonctions indicatrices, appelées fonctions étagées positives. Ceci se fait par linéarité de l’intégrale. Soit $s(x,y) = \sum_{i=1}^n a_i \mathbb{1}_{E_i}(x,y)$ une fonction étagée positive, où $E_i$ sont des rectangles mesurables. $$ \int_{X \times Y} s \, d(\mu \otimes \nu) = \sum_{i=1}^n a_i (\mu \otimes \nu)(E_i) $$ Et par linéarité des intégrales partielles, on montre l’égalité des intégrales itérées.
Étape 3 : Fonctions mesurables positives. Pour passer aux fonctions mesurables positives générales, on utilise le théorème de convergence monotone. Toute fonction mesurable positive $f$ est la limite d’une suite croissante de fonctions étagées positives $(s_n)$. En appliquant le théorème de convergence monotone aux trois intégrales impliquées, on montre l’égalité pour $f$. Consultez cet article sur le théorème de convergence monotone pour plus de détails.
Étape 4 : Fonctions intégrables. Enfin, pour les fonctions intégrables (c’est-à-dire celles pour lesquelles $\int_{X \times Y} |f| \, d(\mu \otimes \nu) < \infty$), on utilise la décomposition d'une fonction en sa partie positive et sa partie négative : $f = f^+ - f^-$, où $f^+ = \max(f, 0)$ et $f^- = -\min(f, 0)$. Puisque $f^+$ et $f^-$ sont des fonctions mesurables positives et intégrables, on peut leur appliquer le résultat de l'étape précédente et utiliser la linéarité de l'intégrale. Une ressource utile pour approfondir ce sujet est disponible sur MathWorld.
En conclusion, la démonstration rigoureuse du théorème de Fubini nécessite une construction méthodique, partant des cas les plus simples pour arriver aux fonctions les plus générales, en s’appuyant sur les théorèmes fondamentaux de la théorie de la mesure.
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