La démonstration du théorème de Cauchy est un concept fondamental en analyse mathématique, souvent abordé dans les programmes universitaires avancés. Cet article explore en profondeur cette démonstration, en expliquant chaque étape avec rigueur.
Énoncé du théorème
Le théorème de Cauchy établit que pour une fonction \( f \) continue sur un intervalle fermé \([a, b]\) et dérivable sur l’intervalle ouvert \( (a, b) \), il existe un point \( c \in (a, b) \) tel que :
\[ f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. \]Ce théorème repose sur des hypothèses rigoureuses, à savoir :
- \( f \) est continue sur \([a, b]\).
- \( f \) est dérivable sur \( (a, b) \).
Démonstration du théorème de Cauchy
La démonstration du théorème de Cauchy utilise le théorème de Rolle comme outil principal et se déroule en plusieurs étapes méthodiques.
Étape 1 : Construction de la fonction auxiliaire
On commence par définir une fonction auxiliaire \( g(x) \), conçue pour satisfaire les conditions du théorème de Rolle :
\[ g(x) = f(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}(x – a). \]La fonction \( g(x) \) est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \( (a, b) \), car \( f(x) \) est continue et dérivable par hypothèse. De plus, \( g(a) = f(a) \) et \( g(b) = f(b) \).
Étape 2 : Application du théorème de Rolle
Selon le théorème de Rolle, une fonction continue sur un intervalle fermé, dérivable sur un intervalle ouvert, et égale à zéro en ses extrémités admet au moins un point \( c \in (a, b) \) tel que :
\[ g'(c) = 0. \]Calculons la dérivée de \( g(x) \) :
\[ g'(x) = f'(x) – \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. \]En posant \( g'(c) = 0 \), on obtient :
\[ f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}. \]Étape 3 : Conclusion
Cette équation prouve qu’il existe un point \( c \in (a, b) \) tel que \( f'(c) \) est égal au taux de variation moyen de \( f \) sur \([a, b]\). Ainsi, le théorème de Cauchy est démontré.
Ce résultat est fondamental en analyse, car il sert de base à de nombreux autres théorèmes et concepts, comme le théorème des accroissements finis et les séries de Taylor.
Pour en savoir plus sur des concepts similaires en mathématiques, consultez cet article externe.
