La démonstration du théorème de Cantor est une pierre angulaire des mathématiques modernes, en particulier dans les domaines de la théorie des ensembles et de la logique. Elle montre que la puissance de l’ensemble des parties d’un ensemble est strictement supérieure à celle de l’ensemble lui-même, et établit ainsi la hiérarchie des infinis.
Énoncé du théorème de Cantor
Le théorème de Cantor peut être énoncé comme suit :
$$\text{Pour tout ensemble } X, \ |X| < |\mathcal{P}(X)|,$$
où \( \mathcal{P}(X) \) est l’ensemble des parties de \( X \), c’est-à-dire l’ensemble de tous les sous-ensembles de \( X \).
En d’autres termes, il n’existe aucune application bijective entre \( X \) et \( \mathcal{P}(X) \).
Ce résultat signifie que **l’ensemble des parties** d’un ensemble a une **cardinalité strictement supérieure** à celle de l’ensemble d’origine, quel que soit l’infini envisagé.
Démonstration du théorème de Cantor
La démonstration du théorème de Cantor repose sur un argument par contradiction utilisant la technique de diagonalisation. Voici les étapes principales :
1. Supposons une bijection
Supposons qu’il existe une application bijective \( f : X \to \mathcal{P}(X) \), où chaque élément \( x \in X \) est associé à un sous-ensemble \( f(x) \subseteq X \).
2. Construction de l’ensemble diagonal
Définissons un ensemble \( D \subseteq X \) tel que :
$$D = \{x \in X : x \notin f(x)\}.$$
Cet ensemble \( D \) est appelé **ensemble diagonal**, car sa définition repose sur une exclusion spécifique des éléments dans leur propre image.
3. Contradiction
Puisque \( f \) est supposée bijective, il existe un élément \( d \in X \) tel que \( f(d) = D \). Examinons alors si \( d \in D \) :
- Si \( d \in D \), alors par définition de \( D \), \( d \notin f(d) = D \), ce qui est une contradiction.
- Si \( d \notin D \), alors par définition de \( D \), \( d \in f(d) = D \), ce qui est également une contradiction.
Cette contradiction prouve que l’hypothèse initiale d’une bijection est fausse. Ainsi, \( |\mathcal{P}(X)| > |X| \).
Pour explorer davantage la théorie des ensembles et ses applications, vous pouvez consulter cet article sur la théorie des ensembles.
