La formule de Pascal est un concept fondamental en mathématiques, principalement utilisé dans le développement du binôme et la théorie des probabilités. La formule de Pascal La formule de Pascal repose sur le célèbre triangle de Pascal. Elle s’écrit : \[ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \] Cette relation est cruciale pour comprendre le développement…
La Formule du binôme de Newton permet de développer l’expression \( (a + b)^n \) en une somme de termes impliquant les combinaisons. Formule du binôme de Newton La formule du binôme de Newton est donnée par : \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n – k} b^k \] où \( \binom{n}{k} \) est…
La Formule de Stirling est une approximation asymptotique du factoriel, utile pour estimer \( n! \) lorsque \( n \) est grand. Formule de Stirling La formule de Stirling s’exprime par : \[ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \] Cette approximation devient plus précise à mesure que \( n \) augmente. Exemples sur la Formule…
La Formule d’espérance définit la moyenne pondérée des valeurs possibles d’une variable aléatoire, reflétant sa tendance centrale. Formule d’espérance La formule d’espérance pour une variable aléatoire discrète \( X \) est donnée par : \[ E[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i) \] Pour une variable aléatoire continue, elle est définie par : \[ E[X]…
La Formule de variance est une mesure de la dispersion des valeurs d’une variable aléatoire autour de sa moyenne. Formule de variance La formule de variance pour une variable aléatoire \( X \) est définie par : \[ \text{Var}(X) = E[(X – E[X])^2] = E[X^2] – (E[X])^2 \] Exemples sur la Formule de variance Supposons…
La Formule de la loi de Poisson décrit la probabilité du nombre d’événements se produisant dans un intervalle de temps ou d’espace fixe. Formule de la loi de Poisson La formule de la loi de Poisson est donnée par : \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] où \( \lambda \) est le taux…
La Formule d’Al-Kashi est une généralisation de la loi des cosinus, attribuée au mathématicien persan Al-Kashi. Formule d’Al-Kashi La formule d’Al-Kashi pour un triangle avec côtés \( a \), \( b \), et \( c \), et angle \( \gamma \) opposé au côté \( c \), est donnée par : \[ c^2 = a^2…
La Formule de Taylor-Young est une extension de la formule de Taylor qui fournit une estimation du reste sous certaines conditions. Formule de Taylor-Young La formule de Taylor-Young s’exprime comme suit : \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \frac{f »(a)}{2!}(x – a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x – a)^n + R_n(x) \] où le…
La Formule des probabilités totales est une règle fondamentale en théorie des probabilités permettant de calculer la probabilité d’un événement en le décomposant en cas disjoints. Formule des probabilités totales La formule des probabilités totales est exprimée par : \[ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i) P(B_i) \] où \(…
La Formule de Taylor est une méthode d’approximation des fonctions différentiables autour d’un point. Formule de Taylor La formule de Taylor d’ordre \( n \) pour une fonction \( f \) en un point \( a \) est donnée par : \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x – a) + \frac{f »(a)}{2!}(x – a)^2 + \dots…
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