Un endomorphisme est une application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même. Les endomorphismes sont essentiels en algèbre linéaire pour comprendre les transformations linéaires internes, les matrices associées et les valeurs propres. Endomorphisme Soit \( V \) un espace vectoriel sur un corps \( \mathbb{K} \). Une application \( f : V \to V \) est…
Les applications linéaires sont des fonctions entre espaces vectoriels qui respectent les propriétés d’additivité et d’homogénéité. Elles jouent un rôle central en algèbre linéaire et en géométrie, notamment dans l’étude des transformations et des bases vectorielles. Applications linéaires Soit \( f : V \to W \) une fonction entre deux espaces vectoriels \( V \)…
Le déterminant d’une matrice est un outil fondamental en algèbre linéaire qui mesure certaines propriétés d’une matrice, telles que la singularité, le volume d’un parallélépipède et bien plus encore. Calculer le déterminant d’une matrice est crucial pour résoudre des systèmes linéaires, effectuer des inversions et évaluer des transformations linéaires. Déterminant d’une matrice Le déterminant est…
L’inverse d’une matrice 3×3 est un outil essentiel en algèbre linéaire pour résoudre des systèmes linéaires, calculer des transformations inverses et analyser des propriétés matricielles. Une matrice carrée possède un inverse uniquement si elle est non singulière (c’est-à-dire si son déterminant est non nul). Inverse d’une Matrice 3×3 Soit \( A \) une matrice \(…
Une matrice définie positive est une matrice carrée symétrique qui joue un rôle fondamental en algèbre linéaire, en optimisation et dans les statistiques. Elle est utilisée pour caractériser des espaces convexes et des propriétés géométriques essentielles. Matrice Définie Positive Une matrice carrée \( A \) de dimension \( n \times n \) est définie positive…
Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée où tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont nuls. Ce type de matrice est largement utilisé en algèbre linéaire pour simplifier les calculs, notamment lors de la résolution de systèmes linéaires et dans la décomposition LU. Matrice Triangulaire Supérieure Une matrice carrée \(…
La matrice compagnon est une matrice carrée utilisée principalement pour étudier les propriétés des polynômes caractéristiques et la théorie des matrices. Elle est d’une grande importance en algèbre linéaire et en théorie des systèmes. Matrice Compagnon Une matrice compagnon \( C \) est définie à partir d’un polynôme caractéristique monique : \[ P(x) = x^n…
La matrice identité est une matrice carrée qui joue le rôle d’élément neutre pour le produit matriciel. Elle est largement utilisée en algèbre linéaire, notamment pour les transformations linéaires et les systèmes d’équations. Matrice Identité La matrice identité \( I_n \) de dimension \( n \times n \) est définie comme une matrice diagonale dont…
La matrice de Cramer est un outil utilisé dans la méthode de Cramer pour résoudre les systèmes d’équations linéaires carrés. Elle repose sur les propriétés des déterminants et permet de trouver les solutions lorsque la matrice des coefficients est inversible. Matrice de Cramer La méthode de Cramer s’applique aux systèmes linéaires carrés : \[ A…
La matrice produit représente le résultat de la multiplication de deux matrices. Ce concept est essentiel en algèbre linéaire et se trouve au cœur de nombreuses applications, notamment dans les transformations linéaires et les systèmes d’équations matricielles. Matrice Produit Le produit de deux matrices \( A \) et \( B \) est défini si et…
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