Les applications linéaires sont des fonctions entre espaces vectoriels qui respectent les propriétés d’additivité et d’homogénéité. Elles jouent un rôle central en algèbre linéaire et en géométrie, notamment dans l’étude des transformations et des bases vectorielles.
Applications linéaires
Soit \( f : V \to W \) une fonction entre deux espaces vectoriels \( V \) et \( W \). \( f \) est une application linéaire si :
1. \( f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) \quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)
2. \( f(c\mathbf{u}) = c f(\mathbf{u}) \quad \forall \mathbf{u} \in V, \, c \in \mathbb{R} \)
Par exemple, la fonction \( f(x, y) = (2x, 3y) \) est une application linéaire car elle respecte ces deux propriétés.
Exemples sur les Applications linéaires
Prenons les exemples suivants :
1. La fonction \( f(x, y) = (2x, -y) \) est une application linéaire. Vérifions : \[ f((x_1, y_1) + (x_2, y_2)) = f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (2(x_1 + x_2), -(y_1 + y_2)) \] \[ = (2x_1 + 2x_2, -y_1 – y_2) = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) \] \[ f(c(x, y)) = f(cx, cy) = (2cx, -cy) = c(2x, -y) = c f(x, y) \]
2. L’application dérivée \( D : \mathcal{C}^1 \to \mathcal{C}^0 \) définie par \( D(f) = f’ \) est également une application linéaire.
Propriétés
- Le noyau \( \ker(f) = \{ \mathbf{v} \in V \mid f(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \} \) d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de \( V \).
- L’image \( \text{Im}(f) = \{ \mathbf{w} \in W \mid \exists \mathbf{v} \in V, f(\mathbf{v}) = \mathbf{w} \} \) est un sous-espace vectoriel de \( W \).
- Le théorème du rang affirme que \( \dim(V) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f)) \).
- Les applications linéaires peuvent être représentées par des matrices dans une base donnée.
- La composition d’applications linéaires est elle-même une application linéaire.
Méthodes sur les Applications linéaires
Pour travailler avec des applications linéaires :
- Vérifiez les propriétés d’additivité et d’homogénéité pour déterminer si une fonction est linéaire.
- Représentez l’application à l’aide d’une matrice en choisissant une base dans les espaces \( V \) et \( W \).
- Utilisez des outils comme le théorème du rang pour analyser les propriétés structurelles de l’application.
Des ressources comme Symbolab ou GeoGebra peuvent vous aider à visualiser et manipuler des applications linéaires.
Exercices pour s’entraîner
Exercice Moyenne :
- Montrez que la fonction \( f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z) \) est une application linéaire.
- Calculez le noyau de l’application \( f(x, y, z) = (2x – y, 3y + z) \).
Exercice Difficile :
- Représentez l’application \( f(x, y, z) = (x + 2y – z, 3x – y, z) \) sous forme matricielle dans la base canonique de \( \mathbb{R}^3 \).
- Prouvez que la composition de deux applications linéaires est une application linéaire.
Tester Vos Connaissances
Ce quiz interactif vous permettra de tester vos connaissances sur les applications linéaires et leurs propriétés.
