Une Suite de Cauchy est un concept fondamental en analyse réelle et en analyse complexe. Elle permet de formaliser l’idée d’une suite dont les termes se rapprochent de plus en plus les uns des autres à mesure que l’on avance dans la suite. Dans cet article, nous allons explorer la définition, les propriétés et les applications des suites de Cauchy.
La Suite de Cauchy
Une suite $(u_n)$ de nombres réels ou complexes est dite suite de Cauchy si, pour tout nombre réel $\epsilon > 0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tous entiers naturels $p$ et $q$ supérieurs à $N$, on a :
$$|u_p – u_q| < \epsilon$$
Cela signifie qu’à partir d’un certain rang $N$, tous les termes de la suite sont distants les uns des autres de moins que $\epsilon$. En d’autres termes, les termes de la suite se « resserrer » les uns autour des autres.
Propriétés importantes :
- Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
- Dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ou complexes $\mathbb{C}$, toute suite de Cauchy est convergente. On dit que $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ sont des espaces complets.
- Toute suite de Cauchy est bornée.
L’intérêt principal des suites de Cauchy réside dans le fait qu’elles permettent de caractériser la convergence d’une suite sans avoir besoin de connaître sa limite.
Exemples sur la Suite de Cauchy
Considérons la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{1}{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Montrons que $(u_n)$ est une suite de Cauchy.
Soit $\epsilon > 0$. Choisissons $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $N > \frac{2}{\epsilon}$. Alors, pour tous $p, q \geq N$ avec $p \leq q$, on a :
$$|u_p – u_q| = \left|\frac{1}{p} – \frac{1}{q}\right| = \frac{q-p}{pq} \leq \frac{q}{pq} = \frac{1}{p} \leq \frac{1}{N} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$$
Donc, $(u_n)$ est bien une suite de Cauchy.
Voici un exemple de représentation graphique d’une suite de Cauchy.
Voici une autre exemple de représentation graphique d’une suite de Cauchy oscillante.
Tester Vos Connaissances
Maintenant, mettez vos connaissances à l’épreuve avec ce quiz sur les suites de Cauchy.
Ce quiz a pour objectif d’évaluer votre compréhension du concept de suite de Cauchy. Répondez aux questions suivantes et vérifiez vos réponses à la fin.
Pour en savoir plus sur les notions mathématiques comme les intégrales, les nombres complexes, vous pouvez consulter les liens correspondants.
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