La Démonstration du théorème de Banach-Tarski est un résultat contre-intuitif et fascinant de la théorie des ensembles et de la géométrie, qui montre qu’il est possible, sous certaines conditions, de décomposer un objet en un nombre fini de pièces et de les réassembler pour former deux copies identiques de l’objet original.
Enoncé du théorème
Le théorème de Banach-Tarski, publié en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski, stipule que, étant donné une boule dans l’espace euclidien tridimensionnel \( \mathbb{R}^3 \), il existe une décomposition de cette boule en un nombre fini de sous-ensembles disjoints, qui peuvent ensuite être réassemblés (par des isométries, c’est-à-dire des rotations et des translations) pour former deux boules identiques à la boule initiale. Formellement, si \( B \) est une boule ouverte dans \( \mathbb{R}^3 \), il existe des sous-ensembles disjoints \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) de \( B \) et des isométries \( g_1, g_2, \ldots, g_n \) de \( \mathbb{R}^3 \) telles que :
\( B = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \)
et il existe une partition de \( \{1, 2, \ldots, n\} \) en deux ensembles \( I \) et \( J \) telle que :
\( B = \bigcup_{i \in I} g_i(A_i) \) et \( B = \bigcup_{j \in J} g_j(A_j) \)
Il est crucial de noter que les sous-ensembles \( A_i \) sont généralement non mesurables au sens de Lebesgue. C’est là qu’intervient l’axiome du choix, un principe fondamental de la théorie des ensembles qui est nécessaire pour la démonstration de ce théorème.
Démonstration du théorème de Banach-Tarski
La démonstration du théorème de Banach-Tarski est complexe et fait appel à plusieurs notions avancées. Elle repose essentiellement sur l’existence de groupes libres agissant sur un ensemble et sur la notion de paradoxe de décomposition.
Un élément clé est le paradoxe de Hausdorff, qui montre qu’il est possible de décomposer la sphère unité \( S^2 \) (privée de certains points) en un nombre fini de parties qui, après rotation, peuvent être réassemblées pour former deux copies de la sphère originale (privée des mêmes points). Ce paradoxe utilise l’existence d’un sous-groupe libre du groupe des rotations de la sphère, \( SO(3) \), isomorphe au groupe libre à deux générateurs, \( F_2 \). Pour explorer la notion de groupes libres, vous pouvez consulter des ressources sur la théorie des groupes.
La démonstration procède ensuite en étendant ce résultat de la sphère à la boule. On peut « épaissir » la sphère pour obtenir une boule privée de son centre, puis traiter le cas du centre séparément (ou l’ignorer, car un ensemble d’un seul point est négligeable dans ce contexte). L’idée est d’utiliser une action du groupe libre \( F_2 \) sur la sphère \( S^2 \) pour obtenir des partitions paradoxales. Chaque élément du groupe libre correspond à une rotation spécifique. En utilisant l’axiome du choix, on peut sélectionner un ensemble de représentants pour chaque orbite de l’action du groupe sur la sphère.
La construction des ensembles non mesurables \( A_i \) est subtile et repose sur la manière dont le groupe libre agit sur la sphère. En combinant judicieusement les rotations associées aux générateurs du groupe libre et en utilisant l’ensemble de représentants sélectionné, on parvient à construire la décomposition paradoxale.
Il est important de comprendre que la « découpe » ne correspond pas à une découpe physique réalisable. Les ensembles impliqués sont extrêmement complexes et « éparpillés » dans l’espace. L’étude de la mesure de Lebesgue peut aider à appréhender la nature de ces ensembles non mesurables.
Le théorème de Banach-Tarski, bien que mathématiquement valide, met en évidence les conséquences parfois étranges de l’axiome du choix et souligne les différences entre notre intuition géométrique et les propriétés des ensembles infinis non mesurables.
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