La démonstration du théorème de Stokes est un concept clé en analyse vectorielle, un domaine central des mathématiques avancées. Cet article explore en profondeur ce théorème fondamental, son énoncé et les étapes de sa démonstration.
Énoncé du théorème de Stokes
Le théorème de Stokes relie l’intégrale de surface d’un champ vectoriel à son intégrale curviligne le long de la frontière de la surface. L’énoncé mathématique est :
$$\int\int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
Où :
- \( S \) est une surface orientée dans \(\mathbb{R}^3\).
- \(\partial S\) est le contour de \( S \), orienté positivement.
- \(\mathbf{n}\) est le vecteur normal unitaire à \( S \).
- \(\mathbf{F}\) est un champ vectoriel continu et différentiable.
En termes simples, ce théorème établit une relation entre **l’intégrale de rotation** d’un champ vectoriel sur une surface et **l’intégrale curviligne** sur son contour.
Démonstration du théorème de Stokes
La démonstration du théorème de Stokes repose sur plusieurs concepts fondamentaux de l’analyse vectorielle. Elle s’appuie notamment sur le **théorème fondamental du calcul intégral**, l’approximation locale, et le théorème de Green dans le plan. Voici une esquisse des étapes principales :
1. Approximation locale
Considérons une surface \( S \) qui peut être subdivisée en petites surfaces différentiables. En prenant une subdivision fine, chaque morceau peut être approximé par une surface plane localement.
$$\int\int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \sum_{i=1}^n \int\int_{S_i} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS_i$$
2. Application du théorème de Green
Pour chaque petite surface \( S_i \), nous utilisons le **théorème de Green** pour exprimer l’intégrale de surface comme une intégrale curviligne sur son contour.
$$\oint_{\partial S_i} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int\int_{S_i} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS_i$$
3. Assemblage global
En sommant sur tous les morceaux \( S_i \) et en remarquant que les contributions des frontières intérieures s’annulent, on obtient :
$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int\int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$$
Cette démonstration montre l’élégance du théorème, qui synthétise plusieurs idées clés en une seule formule.
Pour explorer plus en détail les concepts d’analyse vectorielle, vous pouvez consulter cet article sur l’analyse vectorielle avancée.
