Démonstration du théorème de Green est une pierre angulaire de l’analyse vectorielle, reliant les intégrales curvilignes et les intégrales doubles en deux dimensions. Dans cet article, nous allons examiner son énoncé et fournir une démonstration rigoureuse étape par étape.
Enoncé du théorème de Green
Le théorème de Green peut être formulé comme suit :
Soient \( C \) une courbe simple fermée et orientée positivement, et \( D \) la région plane bornée par \( C \). Si \( P(x, y) \) et \( Q(x, y) \) sont des fonctions continûment différentiables sur une région contenant \( D \), alors :
\[ \oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \]Ce résultat établit un lien entre une intégrale curviligne le long de \( C \) et une intégrale double sur \( D \).
Démonstration du théorème de Green
Nous procédons à la démonstration du théorème de Green en divisant la région \( D \) en sous-domaines rectangulaires.
1. Décomposition de la région \( D \) : Supposons que \( D \) peut être exprimée comme l’union de petits rectangles. Cela garantit que l’intégrale double peut être calculée par morceaux.
2. Considérons un rectangle élémentaire : Pour un rectangle élémentaire délimité par \((x_1, x_2)\) et \((y_1, y_2)\), l’intégrale curviligne est donnée par :
\[ \oint_{\partial R} P \, dx + Q \, dy = \int_{x_1}^{x_2} P(x, y_1) \, dx + \int_{y_1}^{y_2} Q(x_2, y) \, dy – \int_{x_1}^{x_2} P(x, y_2) \, dx – \int_{y_1}^{y_2} Q(x_1, y) \, dy \]3. Calcul de l’intégrale double : L’intégrale double du terme \(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y}\) sur \( R \) peut être représentée comme :
\[ \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} \frac{\partial Q}{\partial x} \, dy \, dx – \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} \frac{\partial P}{\partial y} \, dx \, dy \]4. Application de la continuité : En utilisant les propriétés des dérivées partielles et des intégrales, il peut être démontré que la somme des intégrales sur les petits rectangles se réduit à l’intégrale sur \( D \), complétant ainsi la démonstration.
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